【luogu CF1553F】Pairwise Modulo（树状数组）（根号分治）

Pairwise Modulo

题目链接：luogu CF1553F

题目大意

给你一个序列，对于每个前缀，要你求两两互相取模的结果的和。

思路

考虑新加入一个数增加的答案。
那就是加两个部分：
$\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_n\% a_i$
$\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i\%a_n$

然后分别考虑。
不过有一个通用的化法就是 $a\%b=a-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor b$
然后：

$\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_n- \left\lfloor\dfrac{a_n}{a_i}\right\rfloor a_i$
$\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i- \left\lfloor\dfrac{a_i}{a_n}\right\rfloor a_n$

$a_n(n-1)-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\dfrac{a_n}{a_i}\right\rfloor a_i$
$\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\dfrac{a_i}{a_n}\right\rfloor a_n$

那就看怎么算两个的右边。
发现第二个是好搞的，直接枚举 $\left\lfloor\dfrac{a_i}{a_n}\right\rfloor$ 的值，然后查询 $a_nk\sim a_n(k+1)-1$ 里面有多少个之前的数，用树状数组维护求即可。
然后 $\sum\limits_{i=1}^{n}\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor=n\log n$ 所以复杂度为 $O(n\log^2n)$

然后再看第一个，发现直接不好问，但是考虑从贡献的数的角度来看，那也看下取整的部分，它的多少倍就要让自己贡献多少次。
于是考虑每次放进去一个数 $x$，就把它倍数的所有位置都加上 $x$，然后询问的时候直接问 $1\sim y$ 的和即可，也是树状数组维护。
然后也是枚举倍数，也是树状数组，所以也是 $n\log^2n$ 的。

---

然后有一种根号分治的做法，但是复杂度会劣到 $O(n\sqrt{n\log n})$，但也能过。
其实两种的想法差不多，这里只说第一个。
我们设定一个阀值 $B$，当数 $\leqslant B$ 的时候，我们暴力取模加入答案。
当 $>B$，这个时候模 $n$ 的结果只有 $\dfrac{n}{B}\log n$ 种（不确定是不是这个不是很会分析），我们考虑枚举这些，然后找到对应的范围，也用树状数组查询数量。
然后当 $B=\sqrt{n\log n}$ 的时候，复杂度是 $O(n\sqrt{n\log n})$

代码

$O(n\log^2n)$

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long

using namespace std;

const ll N = 3e5 + 2e5;
const ll Lim = 3e5;
ll n, a[N];

struct SZSZ {
	ll f[N];
	
	void insert(ll x, ll y) {
		for (; x <= Lim; x += x & (-x))
			f[x] += y;
	}
	
	ll query(ll x) {
		ll re = 0; for (; x; x -= x & (-x)) re += f[x]; return re;
	}
	ll ask(ll l, ll r) {
		return query(r) - query(l - 1);
	}
}T, Ts;

ll re; char c;
ll read() {
	re = 0; c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		re = (re << 3) + (re << 1) + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return re;
}

int main() {
//	freopen("read.txt", "r", stdin);
//	freopen("write.txt", "w", stdout);
	
	n = read();
	for (ll i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
	
	ll ans = 0, sum = 0;
	for (ll i = 1; i <= n; i++) {
		ans -= Ts.ask(1, a[i]);
		ans += 1ll * (i - 1) * a[i];
		
		ll tmp = Lim / a[i];
		for (int j = 1; j <= tmp; j++) {
			int L = j * a[i], R = min((j + 1) * a[i] - 1, Lim);
			ans -= 1ll * j * a[i] * T.ask(L, R);
		}
		ans += sum;
		
		T.insert(a[i], 1); sum += a[i];
		for (ll j = a[i]; j <= Lim; j += a[i]) Ts.insert(j, a[i]);
		printf("%lld ", ans);
	}
	
	return 0;
}

$O(n\sqrt{n\log n})$

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
 
using namespace std;
 
const int N = 3e5 + 2e5;
const int Lim = 3e5;
int n, a[N], B;
bool in[N];
 
struct SZSZ0 {
    int f[N];
     
    inline void insert(int x, int y) {
        for (; x <= Lim; x += x & (-x))
            f[x] += y;
    }
     
    inline int query(int x) {
        int re = 0; for (; x; x -= x & (-x)) re += f[x]; return re;
    }
    inline int ask(int l, int r) {
        return query(r) - query(l - 1);
    }
}T;
 
struct SZSZ {
    ll f[N];
     
    inline void insert(int x, int y) {
        for (; x <= Lim; x += x & (-x))
            f[x] += y;
    }
     
    inline ll query(int x) {
        ll re = 0; for (; x; x -= x & (-x)) re += f[x]; return re;
    }
    inline ll ask(int l, int r) {
        return query(r) - query(l - 1);
    }
}Ts;
 
int get_log(int x) {
    return x * (int)(log10(x) / log10(2));
}

int re; char c;
int read() {
    re = 0; c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        re = (re << 3) + (re << 1) + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return re;
}
 
void write(ll x) {
    if (x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
 
int main() {
//  freopen("read.txt", "r", stdin);
//  freopen("write.txt", "w", stdout);
     
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
     
    ll ans = 0, sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        B = max(1, (int)sqrt(get_log(a[i])));
        int L = a[i] / 2 + 1, R = a[i], tmp = a[i] / B;
        for (int j = 1; j <= tmp; j++) {
//          int L = a[i] / (j + 1) + 1, R = a[i] / j;
            ans -= Ts.ask(L, R) * j;
            if (j != tmp) R = L - 1, L = a[i] / (j + 2) + 1;
        }
        for (int j = 1; j <= L - 1; j++) {
            if (!in[j]) continue;
//          ans -= a[i] - (a[i] - a[i] / j * j);
            ans -= a[i] / j * j;
        }
        ans += 1ll * (i - 1) * a[i];
         
        tmp = Lim / a[i];
        for (int j = 1; j <= tmp; j++) {
            int L = j * a[i], R = min(Lim, (j + 1) * a[i] - 1);
            ans -= 1ll * j * a[i] * T.ask(L, R);
        }
        ans += sum;
         
        T.insert(a[i], 1); Ts.insert(a[i], a[i]); sum += a[i]; in[a[i]] = 1;
        write(ans); putchar(' ');
//      printf("%lld ", ans);
    }
     
    return 0;
}

//根号分治 

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/luogu_CF1553F.html
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