【luogu CF1098D】Eels(结论)
Eels
题目链接:luogu CF1098D
题目大意
有一个可重集,每次操作会放进去一个数或者取出一个数。
然后每次操作完之后,问你对这个集合进行操作,每次选出两个数 a,b 加起来合并回去,直到集合中只剩一个数,要你最小化 2a<b 或 2b<a 的次数。
每次输出这个最小次数。
思路
有一个简单的贪心结论是每次选最小的两个合并。
感性理解就是你如果要贡献了,那迟早都要贡献,你这里加了说不定他就够大了就不一定在下一次贡献了。
接下来发现你这样这题好像还不能过。
于是考虑再推一点结论,发现它贡献的条件我们还没有用上。
于是考虑一下这个二倍,会发现一个什么问题,就是如果你某一次要贡献。
比如贡献的形式是 \(x,y\),其中 \(2x<y\),那你其实会发现这个 \(y\) 是不可能是被合并出来的,它一定是原生的。
那如果它能被合出来 \(y_1+y_2=y(y_1\leqslant y_2)\),那我们每次合最小的两个,那 \(y_1,y_2\) 已经被合了 \(x\) 还在,那一定有 \(y_1\leqslant y_2\leqslant x\),那 \(y_1+y_2\leqslant 2x\) 即 \(y\leqslant 2x\) 与 \(y>2x\) 矛盾。
也不难看出,当 \(kx<y\) 为条件的时候,两个推出来的条件分别是 \(y\leqslant 2x\) 与 \(y>kx\),也就是当 \(k\geqslant 2\) 的时候其实这个结论都成立,这也是这个条件成立的充要条件。
那这个说明什么,你如果要出现贡献,大的一定是原生的,而每次你都会合最小的两个,那要让大的是原生的也就是它是现在第二小的,而且比它大的里面不应该有非原生的。
因为有的话,就说明它肯定没有最小的二倍。
那最小的肯定就是原生的里面比他小的和。
那条件就是:(先把数组排序,在让 \(sum_i=\sum\limits_{x=1}^ia_x\))
\(\sum\limits_{i=1}^n[2sum_{i-1}<a_i]\)
那我们要做的就是在插入数和删去数的过程中维护这个东西的值。
会发现问题在于每个地方都要判断一次,但是一个显然的事情是每一次是上次的两倍以上,那每次这个值都会翻倍,那就只会有至多 \(\log\) 次贡献。
那你会发现如果你按最高位的存在来分(我们对于每个维护一个 set),那你会发现每一组至多只有一个贡献,那我们需要判断的次数也缩小到了 \(\log\) 级别,就可以了。
代码
#include<set>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int n, ans;
multiset <int> s[36];
ll sum[36];
int getk(int x) {
int re = 0;
while (x > 1) re++, x >>= 1;
return re;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
while (n--) {
char c = getchar(); while (c != '+' && c != '-') c = getchar();
int x; scanf("%d", &x);
int k = getk(x);
if (c == '-') {
s[k].erase(s[k].find(x));
sum[k] -= x;
}
if (c == '+') {
s[k].insert(x);
sum[k] += x;
}
ll Sum = 0; ans = 0;
for (int i = 0; i <= 30; i++)
if (s[i].size()) {
ans += s[i].size();
if ((*s[i].begin()) > 2 * Sum) ans--;
Sum += sum[i];
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}