【luogu AT2155】Rotated Palindromes（容斥）（DP）

Rotated Palindromes

题目链接：luogu AT2155

题目大意

问你有多少个长度为 n 的数组满足你可以通过不断的把第一个数放到最后一个位置上，使得这个数组变成一个回文串。

思路

首先想到一个显然错误的东西：
直接考虑先正常一个回文串 $(\frac{n+1}{2})^k$，然后它会有 $n$ 种移位，但因为会重复所以显然是错的。

那你就要考虑怎么不重复的求，不难想到一个东西：最小循环节。
那假设我们已经知道有多少个回文串的最小循环节是 $x$，你要怎么求它的贡献（毕竟它是可以移位的）

分奇偶讨论，如果是奇数，那显然它那个中间的位置是特别的，所以要循环 $x$ 次才会得到一个重复的。
如果是偶数，那你会想到它循环 $x/2$ 此就会有重复的了（$abba\rightarrow baab$）。

那你接着问题就是求有多少个的最小循环节是 $x$。
这个考虑容斥 DP，就先是循环节有 $x$ 的：$(\frac{x+1}{2})^k$。
然后你枚举它的因子，它们作为最小循环节都不可以，所以要减去它们。
然后就求出来了，答案根据奇偶分别贡献也有了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 1000000007

using namespace std;

int n, k, a[100001];
ll f[100001], ans;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo; y >>= 1;
	}
	return re;
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &k);
	for (int i = 1; i * i <= n; i++)
		if (n % i == 0) {
			a[++a[0]] = i; if (i * i != n) a[++a[0]] = n / i;
		}
	sort(a + 1, a + a[0] + 1);
	
	for (int i = 1; i <= a[0]; i++) {
		f[i] = ksm(k, (a[i] + 1) / 2);
		for (int j = 0; j < i; j++)
			if (a[i] % a[j] == 0)
				f[i] = (f[i] - f[j] + mo) % mo;
		if (a[i] & 1) ans = (ans + f[i] * a[i] % mo) % mo;
			else ans = (ans + f[i] * a[i] / 2 % mo) % mo;
	}
	printf("%lld", ans);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/luogu_AT2155.html
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