选课 / T3（组合数）（容斥）

选课 / T3

题目大意

给你 n 个位置 n 个数，第 i 个不能放在第 i 个位置和第 i+1 个位置（如果 i 是 n 就是第 n 个和第 1 个）
给你 n，要你求放的方案数。

思路

不难这是一个环之类的，考虑先弄序列的。

你把每个数不能放的位置列出来。
$(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),...$

感觉搞不能放的很麻烦，考虑正难则反，考虑求至少有 $k$ 个不合法的有多少情况。
然后搞出来正反正反容斥一下即可。

然后你考虑怎么求至少有 $k$ 个不合法的。
你考虑从前面列出来的东西来搞，考虑在这些括号里面选 $k$ 个括号里面选一个，而且选的都是要不同的数。
那不难想到括号内的两个数不能同时选，相同的两个数也不能同时选。（相同的数是隔着括号相邻的）

那总的来说，把括号删掉，就变成了不能选相邻的数！
那问题就变成了在 $2n$ 个数中选 $k$ 个，不能选相邻的数。
那你考虑插板法，在 $2n-k$ 个数的间隙中插入板，插入 $k$ 个板，那就是 $C_{2n-k+1}^k$ 。

然后考虑从序列变成环，要怎么搞。
考虑破环为链，那破的地方有 $2n$ 个，所以搞出来的方案数要乘 $2n$ 。
然后第一个数的前面和最后一个数的后面是同一个间隙，所以间隙少了一个，就是 $C_{2n-k}^k$ 。
但是断开的地方可能也被当乘了间隙，而它应该是最前面和最后面那个共同的间隙，而选到这个的只有一种情况，而一共有 $2n-k$ 个间隙，所以这个概率是 $\dfrac{1}{2n-k}$ ，答案要乘上。
那剩下的都是任选，就是 $(n-k)!$ 。

那总的来说，要至少有 $k$ 个不合法，它的方案数就是：
$\dfrac{C_{2n-k}^k*2n}{2n-k}*(n-k)!$
化简一下，就是：
$\dfrac{2n(n-k)!(2n-k-1)!}{k!(2n-2k)!}$

然后预处理阶乘和它的逆元，就可以 $O(nq)$ 求了。

（然而这题有阴间的递推式，鬼知道要怎么算出来，好像也没有讲怎么搞出来的，都是打标用电脑找规律，就不用了）

代码

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 1000000007

using namespace std;

int n;
ll jc[200001], inv[200001], ans, op;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = (re * x) % mo;
		x = (x * x) % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

ll W(int k, int n) {
	return jc[2 * n - k - 1] * jc[n - k] % mo * (2 * n) % mo * inv[k] % mo * inv[2 * n - 2 * k] % mo;
}

int main() {
	jc[0] = 1;//预处理
	for (int i = 1; i <= 200000; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;
	inv[200000] = ksm(jc[200000], mo - 2);
	for (int i = 200000 - 1; i >= 0; i--)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mo;
	
	while (scanf("%d", &n) != EOF) {
		if (n <= 2) printf("0\n");
			else {
				ans = jc[n];
				op = -1;//直接套公式，容斥算
				for (int i = 1; i <= n; i++, op = -op) {
					ans = (ans + (op * W(i, n))) % mo;
					if (ans < 0) ans += mo;
				}
				printf("%lld\n", ans);
			}
	}
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/jzoj_3466.html
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