【ybt金牌导航8-7-2】周期字符串 / 关于莫比乌斯反演的少量知识

周期字符串

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题目大意

求长度为 n 的只有小写字母组成的循环节长度为 n 的字符串个数。
循环节是最短的复制若干遍后拼起来跟原串相等的字符串。

思路

讲一讲莫比乌斯反演

莫比乌斯反演其实就是不断的用容斥，而莫比乌斯函数就是用来容斥的容斥系数。

以 \(\varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}\) 作为例子，我们来看看是怎么容斥的。

首先我们要知道 \(\varphi(n)\) 这个函数原本是干什么的，它叫欧拉函数，是 \(1\sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。

那首先 \(d=1\) 的时候，意思就是把所有的数先都塞进答案中，答案加 \(n\)。
那如果出现了一个 \(d\) 使得 \(\gcd(n,d)>1\)，那 \(d\) 一定是 \(n\) 的某个质因数的倍数。
那你就会想，可以找到每个质因数 \(p\)，然后看能有多少个小于等于 \(n\) 的倍数，也就是 \(\frac{n}{p}\) 个，然后就给答案减去这个个数。
当然，你会发现它计算重复了。

如果两个不同的质因数 \(p_1,p_2\)，它们乘起来肯定是小于 \(n\)，也一定是 \(n\) 的因子。那如果有 \(p_1p_2|d\)，那这样的 \(d\) 会被前面的操作中被计算了 \(C_2^1\) 次，那就多扣了一次，那答案就要加回去，那对于这两个质因子，这样的 \(d\) 有 \(\dfrac{n}{p_1p_2}\) 个，那就加回 \(\dfrac{n}{p_1p_2}\)。
然后你会发现它还是会重复。

如果三个不同的质因数 \(p_1,p_2,p_3\)，那乘起来还是 \(n\) 因子。那如果有 \(p_1p_2p_3|d\)，那就被扣除了 \(C_3^1-C_3^2\) 次，少扣了一次，那为了扣除一次，答案又要扣 \(\dfrac{n}{p_1p_2p_3}\)。

然后你会发现，它就是加回去，减回去，加回去，减回去不断进行。

那你会看到，当你处理的质因数个数是奇数的时候，它就是扣的操作；是偶数的时候，就是加的操作。
那当质因数个数为 \(k\)，这些质因数乘起来是 \(d\)，那答案就要加上 \((-1)^k\frac{n}{d}\)。
然后你再看莫比乌斯函数的定义，你会发现它就是 \((-1)^k\)。别的时候不管，不需要加减，所以是 \(0\)，\(1\) 的时候等于 \(1\) 就是为了一开始的那个全部。

那就是这样的。

那就像上面的东西如果你有一个函数 \(g(m)=\sum\limits_{d|m}f(d)\)，你 \(g(m)\) 函数很好求，但是 \(f(d)\) 不好求，你就可以通过莫比乌斯反演求得 \(f(n)\)。

关于这道题

我们首先设 \(f_i\) 为循环节长度恰好为 \(i\) 的字符串个数，那题目要的就是 \(f_n\)，这点没有问题。

那我们再弄一个 \(g_i\) 为循环节长度恰好为 \(i\) 的因子的字符串个数，那可以看出 \(g_i=\sum\limits_{d|i}f_d\)。
那为什么要弄这个 \(g_i\) 呢？我们会想到，如果一个子串可以通过多次复制得到你这个字符串，那字符串长度就一定是这个子串的长度的倍数。那反过来，子串的长度一定是这个字符串长度的因数。
那你会发现，任何长度为 \(i\) 的字符串的循环节长度都是 \(i\) 的因子的字符串个数。
那 \(g_i=26^i\)。

那你会发现，你就可以反演了。
\(g_i=\sum\limits_{d|i}f_d\Rightarrow f_i=\sum\limits_{d|i}g_d\mu_ \frac{m}{d}\)

代码

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 1000000007

using namespace std;

int n, yz[10001];
ll ans;

ll ksm(ll x, ll y) {//快速幂求 26^x
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = (re * x) % mo;
		x = (x * x) % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

void get_yz() {//求出这个数的所有因子
	for (int i = 1; 1ll * i * i <= n; i++)
		if (n % i == 0) {
			yz[++yz[0]] = i;
			if (i * i != n) yz[++yz[0]] = n / i;
		}
}

ll get_miu(int x) {//求出一个数的 μ 值（定义法）
	if (x == 1) return 1;
	ll re = 1;
	for (int i = 2; 1ll * i * i <= x; i++)
		if (x % i == 0) {
			re *= -1;
			x /= i;
			if (x % i == 0) return 0;
		}
	if (x > 1) re *= -1;
	return re;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	
	get_yz();
	
	for (int i = 1; i <= yz[0]; i++)
		ans = (ans + (ksm(26, yz[i]) * get_miu(n / yz[i]) % mo + mo) % mo) % mo;
	
	printf("%lld", ans);
	
	return 0;
}