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扩展BSGS
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题目大意
给出 a,p,b，找到最小的非负整数 x，使得 a 的 x 次方在模 p 意义下等于 b。
思路
这个题就是扩展 BSGS 的模板题。
BSGS
那既然它是扩展，那我们来说说原版是怎么弄的。
BSGS 的意思是先小步后大步，它可以求出方程 \(A^x\equiv B(mod\ C)\) 且 \(\gcd(A,C)=1\) 时的解。而且是用 \(\sqrt{C}\) 的时间。
那 \(O(C)\) 的大家都会把，就枚举 \(0\sim C-1\)，有就输出，否则就是没有解。
但是为什么答案会出现在这里呢？
你会知道要么有很多种答案，要么没有答案。因为你 \(A^x\) 的取值在取模意义下只能是 \(0\sim C-1\)，那一旦你有取值一样的，那跟下来也是一样。（因为你每次乘的都是同一个数）
那在最坏情况下，把范围内所有数都取完再重复，就是 \(O(C)\) 了。
然后 BSGS 就是一种神奇的算法，通过有点分块的感觉把它弄成了 \(O(\sqrt{C})\)。
它是这样的，首先把 \(0\sim C-1\) 分成连续的几组，让每组的个数都尽可能相等。
然后对于每组，我们询问在这个组中的数是否可以成为答案。
那你会问了，它还是 \(O(C)\) 的啊！
不急，我们看公式来优化。
我们来看对于块 \(i\)（\(1\leq i\leq n\)，\(n\) 是分成的块数），给每个点从左到右编号 \(0\sim m-1\)（也就是每块 \(m\) 个，那会有 \(m=\dfrac{C}{n}\)），我们枚举每个编号 \(y\)，我们就是要看是否存在一个使得这个公式满足：
\(A^{im-y}\equiv B(mod\ C)\)
那我们开始化简：
首先，我们看到 \(A^{im-y}\) 上面有减的，而模数是质数，那我们就弄个逆元，然后再移到右边，就变成：
\(A^{im}\equiv A^yB(mod\ C)\)
那你会发现，每次你枚举的 \(y\) 都是同样的 \(0\sim m-1\)，那你可以把它预处理出来。然后你看左边，你会发现它只枚举了一个 \(i\)。
但是你是不可以每个都枚举另一边出现的每个可能，看是否存在相等的。（因为你数组存不了）
数组存不了，你自然会想到一个东西——哈希表。
那就把右边能取的每个值都放进哈希表里面，然后每次查询 \(A^{im}\) 对应的数是否在哈希表中有。
然后就是 \(n,m\) 的取值问题了，因为你枚举左边是 \(O(n)\)，预处理右边是 \(O(m)\)，那你要尽可能让它们相等，那就都取 \(\sqrt{C}\)。
那就是 BSGS 算法了，它的确定就是一定要 \(\gcd(A,C)=1\)
扩展 BSGS
它就是来解决 BSGS 的缺点，使得它可以解决 \(\gcd(A,C)\neq1\) 的情况。
它主要的想法还是把它弄回互质的情况，然后再用 BSGS 解决。
我们观察式子：
\(A^{x}\equiv B(mod\ C)\)
那因为要化简，那我们弄成不定方程。
\(A^{x}+Cy= B\)
那我们就不停地把左边的化简到 \(\gcd\) 为 \(1\)，但是 \(A^{x}\) 太大了，那我们考虑把它分成 \(x\) 个 \(A\)。
每次就除以 \(\gcd(A,C)\)，然后知道 \(\gcd(A^{x},Cy)=1\)，然后 \(B\) 也跟着除，如果不能整除了，就说明无解。
那我们假设一共除以了 \(w\) 次，第 \(i\) 次除的是 \(d_i\)。
那式子就变成了这个：
\(\dfrac{A^w}{\sum\limits^{w}_{i=1}d_i}A^{x-w}+\dfrac{Cy}{\sum\limits^{w}_{i=1}d_i}=\dfrac{B}{\sum\limits^{w}_{i=1}d_i}\)
这个时候，就互质了。
然后你就可以转回同余方程，按着 BSGS 算了。
扩展欧几里得求逆元
不会吧不会吧不会真有人不会吧。
哦我不会啊，那没事了。
其实就是 \(ax+my=1\) 解这个方程。（\(m\) 是模数）
很明显它可以解决模数和要逆元的数互质的情况。
为什么能这么求呢？
变成同于方程：
\(ax\equiv 1(mod\ m)\)
那你要 \(x\) 是 \(a\) 的逆元，其实就是要满足这个式子。
（因为逆元定义就是取模意义下的倒数，那数和它的倒数相乘当然就是 \(1\) 了）
代码
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define hash_mo 999979
using namespace std;
struct node {
ll to, nxt, x;
}e[500001];
ll a, mo, b, n, now, t, KK;
ll hash[1000001], gcd, d, ans;
void csh() {//初始化
t = 0;
d = 1;
memset(hash, 0, sizeof(hash));
KK = 0;
}
void hash_push(ll x, ll id) {//放一个数在哈希表中
int pl = x % hash_mo;
for (int i = hash[pl]; i; i = e[i].nxt)
if (e[i].to == x) {
e[i].x = id;
return ;
}
e[++KK] = (node){x, hash[pl], id}; hash[pl] = KK;
}
ll hash_ask(int q) {//查询一个数是否在哈希表中存在
int pl = q % hash_mo;
for (int i = hash[pl]; i; i = e[i].nxt)
if (e[i].to == q) {
return e[i].x;
}
return -1;
}
ll GCD(ll x, ll y) {//求最大公因子
if (!y) return x;
return GCD(y, x % y);
}
ll exgcd(ll a, ll &x, ll b, ll &y) {//扩展欧几里得
if (!b) {
x = 1;
y = 1;
return a;
}
ll re = exgcd(b, y, a % b, x);
y -= a / b * x;
return re;
}
ll ksm(ll x, ll y) {//快速幂
ll re = 1;
while (y) {
if (y & 1) re = (re * x) % mo;
x = (x * x) % mo;
y >>= 1;
}
return re;
}
ll inv(ll x, ll mo) {//扩展欧几里得求逆元
ll X, Y;
exgcd(x, X, mo, Y);
return (X % mo + mo) % mo;
}
ll get_hz() {
gcd = GCD(a, mo);
while (gcd != 1) {//一直除以最大公因数
if (b % gcd != 0) return 0;//b已经不能除了，说明无解
t++;
mo /= gcd;
b /= gcd;
d = (d * (a / gcd) % mo) % mo;
gcd = GCD(a, mo);
}
return 1;
}
ll make_hash() {
n = sqrt(mo);
now = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {//把每个 b*a^y 插入到哈希中
if (now == b) return i + t;
hash_push(now * b % mo, i);
now = (now * a) % mo;
}
int ntimes = ksm(a, n);
now = ntimes;
for (int i = 1; i <= n; i++) {//判断每个 a^(im) 是否与任何一个 b*a^y 相等。
int mz = hash_ask(now);
if (mz != -1) return i * n + t - mz;
now = (now * ntimes) % mo;
}
return -1;//所有都不相等，无解
}
int main() {
scanf("%lld %lld %lld", &a, &mo, &b);
while (a || mo || b) {
csh();
if (!get_hz()) printf("No Solution\n");//先化简成互质的，不能就说明无解
else {
b = (b * inv(d, mo)) % mo;//算出互质的式子中的 b
ans = make_hash();//解互质的式子
if (ans == -1) printf("No Solution\n");
else printf("%lld\n", ans);
}
scanf("%lld %lld %lld", &a, &mo, &b);
}
return 0;
}
