【ybt金牌导航8-6-1】【luogu P1516】青蛙约会 / 不定方程同余方程例题

青蛙约会

题目链接：ybt金牌导航8-6-1 / luogu P1516

题目大意

有两个东西在环上各自的位置往同一个方向跳，每次各会跳一定的距离。
然后问你要跳多少次，这两个东西才会在同一个地方。
如果不会在同一个地方，也要按题目要求输出表示。

思路

那我们考虑能不能列出方程。
\(s+mx=t+nx(mod\ L)\)
\(s,t\) 分别是两个东西出发的位置，\(m,n\) 是两个东西每次跳的格数。

化一下：\((m-n)x=t-s(mod\ L)\)。
这是一元线性同余方程，自然会想到把它变成二元一次不定方程，然后用扩展欧几里得来做。
\((m-n)x+Ly=t-s\)

但是它要有解要有条件，就是 \((m-n)\) 与 \(L\) 互质。
那如果不互质，就输出不可行，否则我们就继续做。

那你就把左边的两个变成互质：\(\dfrac{m-n}{\gcd(m-n,L)}x+\dfrac{L}{\gcd(m-n,L)}y=\dfrac{t-s}{\gcd(m-n,L)}\)
（记得之后的模数也要除，因为你这里的 \(L\) 变成了 \(\dfrac{L}{\gcd(m-n,L)}\)，它就表示模数）

但是扩展欧几里得是 \(ax+by=1\)，它的等式右边是 \(1\) 啊。
那简单，我们就把式子的右边看成 \(1\)，算出 \(x\)，然后再把右边乘回去，就可以了。

然后你就把它弄出来，就可以输出了。

代码

#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

ll x, y, m, n, mo;
ll X, Y, a, b, c;

ll GCD(ll x, ll y) {//普通的求 gcd
	if (!y) return x;
	return GCD(y, x % y);
}

ll exgcd(ll a, ll &x, ll b, ll &y) {//扩展欧几里得求 ax+by=1
	if (!b) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	
	ll re = exgcd(b, y, a % b, x);
	y -= a / b * x;
	return re;//顺便可以求出 gcd，可用可不用
}

int main() {
	scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &m, &n, &mo);
	
	//弄出一元线性同余方程，然后转成二元一次不定方程
	a = (m - n + mo) % mo;
	b = mo;
	c = (y - x + mo) % mo;
	
	int gcd = GCD(a, b);//判断是否有解
	if (c % gcd != 0) {
		printf("Impossible");
		return 0;
	}
	
	a /= gcd;//把式子化成 ax+by=c 且 a,b 互质的形式
	b /= gcd;
	c /= gcd;
	exgcd(a, X, b, Y);
	
	X = (X % mo + mo) % mo;
	printf("%lld", (X * c) % (mo / gcd));//算出答案（记得这里模数不是mo）
	
	return 0;
}