【ybt金牌导航8-4-7】【SSL 2639】【bzoj 4173】集合统计 / 简单的数学题 / 数学（结论）（欧拉函数）

集合统计 / 简单的数学题 / 数学

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题目大意

给你 n,m 要你求 φ(n)φ(m)sum φ(ai)。
其中 ai 是满足 n%x+m%x>=x 的所有 x。

思路

重新写式子：
设集合 $S(n,m)$ 为满足 $n\%k+m\%k\geqslant k$ 的 $k$ 组成的集合。

然后要你求：$\varphi(n)\varphi(m)\sum\limits_{k\in S(n,m)}\varphi(k)$

其实你看样例啊什么都都可以猜出来，最右边这个是 $n*m$。

这里给一下证明：
$k\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor+n\%k=n$
$k\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor+m\%k=m$
两个加起来：
$k\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor+n\%k+k\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor+m\%k=n+m$
$(k\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor+k\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor)+(n\%k+m\%k)=n+m$
然后根据 $n\%k+m\%k\geqslant k$ 代替进去：
$k(\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor)+k\leqslant n+m$

然后显然 $n\%k+m\%k\leq 2k$，所以它除 $k$ 向下取整是 $1$。
那我们就全部除 $k$ 向下取整，那它前面 $\geqslant$ 就肯定是 $=$ 了。
$\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor+1= \left\lfloor \frac{n+m} {k}\right\rfloor$
$\left\lfloor \frac{n+m}{k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor=1$

然后我们带进去：
$\sum\limits_{k\in S(n,m)}\varphi(k)$
$\sum\limits_{k=1}^{n+m}\varphi(k)*\left\lfloor \frac{n+m}{k}\right\rfloor-\sum\limits_{k=1}^{n}\varphi(k)\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor-\sum\limits_{k=1}^{m}\varphi(k)\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor$

这里我看了半天才知道为什么，就是因为你上面这个式子：$\left\lfloor \frac{n+m}{k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{m}{k}\right\rfloor$
它肯定是 $0/1$，那不符合的情况就是 $0$，那就无影响也可以加上，然后右边两个因为大了之后除向下取整的结果肯定是 $0$ 所以可以都不要。

然后你考虑 $\sum\limits_{i=1}^x\varphi(i)\left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor$ 怎么求。
$\sum\limits_{i=1}^n\varphi(i)\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i|j}\varphi(i)=\sum\limits_{j=1}^nj$

然后就成了：
$\sum\limits_{k=1}^{n+m}k-\sum\limits_{k=1}^{n}k-\sum\limits_{k=1}^{m}k$

然后三个等差序列和你化简一下就成了 $n*m$。

代码

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 998244353

using namespace std;

ll n, m, pr[4000001];
ll ans;
bool np[40000001];

ll phi(ll now) {
	ll re = 1;
	for (int i = 1; i <= pr[0] && pr[i] * pr[i] <= now; i++) {
		if (now % pr[i] == 0) {
			re = re * (pr[i] - 1) % mo;
			now /= pr[i];
			while (now % pr[i] == 0) {
				re = re * pr[i] % mo; now /= pr[i];
			}
		}
	}
	if (now > 1) {
		re = re * (now - 1) % mo;
	}
	return re;
}

int main() {
	for (int i = 2; i <= 4e7; i++) {
		if (!np[i]) pr[++pr[0]] = i;
		for (int j = 1; j <= pr[0] && i * pr[j] <= 4e7; j++) {
			np[i * pr[j]] = 1; if (i % pr[j] == 0) break;
		}
	}
	
	scanf("%lld %lld", &n, &m);
	
	ans = (n % mo) * (m % mo) % mo;//直接上结论
	printf("%lld", ans * phi(n) % mo * phi(m) % mo);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBT_JPDH_8-4-7.html
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