【ybt金牌导航8-4-1】整数个数 / 欧拉函数例题

整数个数

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题目大意

给你一个数 n，求满足一下条件的数个数：
要小于 n，要不是 n 的约数，不能与 n 互质。

思路

你看到互质，自然会想到欧拉函数。

但是它是不能互质啊，而且它说不是约数也很烦。

那简单，我们容斥一下，用全部的（根据小于 \(n\) 有 \(n-1\) 个）减去是 \(n\) 的约数或与 \(n\) 互质的个数就好了。

那算约数的时候你会把 \(n\) 也算作约数，但你前面的条件是小于 \(n\)，那就要继续容斥，这里算的是减的，那你就要加回一个 \(1\)。

然后你算约数和算互质的时候会都算到 \(1\)，那也容斥，加回 \(1\)。

那这样就可以直接减约数个数和互质个数再根据上面容斥就可以了。

接着就是怎么求互质个数，也就是欧拉函数要怎么算。

这里给出一种算单个的方法。
\(\varphi(i)=i\times\dfrac{p_1-1}{p_1}\times...\times\dfrac{p_m-1}{p_m}\)
（\(p_i\) 是它的质数因子）

原理大概就是它不能出现任何因子，而因子由素数因子构成。
然后就类似容斥，你某个质数 \(p_i\) 把 \(1\sim i\) 划分成许多长度为 \(p_i\) 的区间，然后每个区间都有个位置不能选（就是那个位置是 \(p_i\) 的倍数）。
然后每个质数因子都这样，就是这个公式了。

代码

#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

ll n, ans;

ll phi(ll x) {//求n的phi值
	int re = x;
	for (int i = 2; i * i <= x; i++)
		if (n % i == 0) {
			re = re / i * (i - 1);
			while (n % i == 0) n /= i;
		}
	if (n >> 1)
		re = re / n * (n - 1);
	return re;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	ans = n - 1;//满足小于 n 的有 n-1 个
	
	for (ll i = 1; i * i <= n; i++)//求 n 因子的个数
		if (n % i == 0) {
			ans -= 2;
			if (i * i == n) ans++;
		}
	ans++;//前面求的时候把 n 也算个进去，减多了，要加回去
	
	ans -= phi(n);//求与 n 互质的数的个数（n 的 phi 值）
	
	ans++;//求因子和求互质的地方都算了 1，重复了要加回去。
	
	printf("%lld\n", ans);
	
	return 0;
}