【ybt金牌导航8-3-3】【luogu P4593】分数计算 / 教科书般的亵渎（数学）（拉格朗日插值）

分数计算 / 教科书般的亵渎

题目链接：ybt金牌导航8-3-3 / luogu P4593

题目大意

有一些怪，血量从 1~n，其中有 m 个数是没有怪的，给出这些数。
然后你可以每次操作攻击所有怪扣 1 血，如果有怪死了就继续攻击。
然后每次攻击一个怪的分数是它当前血量的 q 次方。（q 是把所有怪打死要操作的次数）
然后问你打死所有怪的总分数。

思路

首先你要确定 \(q\)。

那你除了没有的位置要自己打，它会一直连下去，所以 \(q=m+1\)（加一是一开始自己要打一下）

然后问你就变成求这个式子：
\(\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=i+1}^{m+1}S(a_j-a_i-1)-S(a_{j-1}-a_i)\)
（\(S(x)=\sum\limits_{i=1}^xi^{m+1}\)）
（\(S(x)\) 我们可以用拉格朗日插值求，这个函数其实是 \(m+2\) 项的多项式）

相当于几个前缀和。

然后其实第二个 \(\sum\) 还可以再弄弄：
\(\sum\limits_{i=1}^m(S(n-a_i)-\sum\limits_{j=i+1}^m(a_j-a_i)^{m+1})\)
（其实就是直接整个的前缀和，然后减去中间会断开的部分）

然后我们就可以 \(O(m^2)\) 解决了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 1000000007

using namespace std;

int T;
ll n, m, ans, a[55];
ll jc[55], y[55], pre[55], suf[55];

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

ll Query(ll n, ll k) {//拉格朗日插值
	pre[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= k; i++)
		pre[i] = pre[i - 1] * (n - i + mo) % mo;
	suf[k + 1] = 1;
	for (int i = k; i >= 1; i--)
		suf[i] = suf[i + 1] * (n - i + mo) % mo;
	
	ll re = 0;
	for (int i = 1; i <= k; i++) {
		re = (re + y[i] * pre[i - 1] % mo * suf[i + 1] % mo * ksm(jc[i - 1] * jc[k - i] % mo * (((k - i) & 1) ? mo - 1 : 1) % mo, mo - 2) % mo) % mo;
	}
	return re;
}

int main() {
	jc[0] = 1; for (int i = 1; i <= 54; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;
	
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%lld %lld", &n, &m);
		for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%lld", &a[i]);
		sort(a + 1, a + m + 1);
		
		for (int i = 1; i <= m + 3; i++) {
			y[i] = (y[i - 1] + ksm(i, m + 1)) % mo;
		}
		ans = 0;
		for (int i = 0; i <= m; i++) {
			ans = (ans + Query(n - a[i], m + 3)) % mo;
			for (int j = i + 1; j <= m; j++) {
				ans = (ans - ksm(a[j] - a[i], m + 1) + mo) % mo;
			}
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	
	return 0;
}