【ybt金牌导航8-3-1】【luogu P4781】函数求值 / 【模板】拉格朗日插值

函数求值 / 【模板】拉格朗日插值

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题目大意

给定一个 n 项式上的 n 个点的坐标，然后问你这个多项式 y=f(k) 的 f(k) 值。

思路1

首先，我们考虑拉格朗日插值的朴素法。

那它是怎样的呢？
我们考虑构造 \(n\) 个函数，分别对应 \(n\) 个点，这些函数只在 \(x\) 值为对应点的 \(x\) 值时才为 \(1\)，如果在不是对应点的点，值就为 \(0\)。
那怎么构造出这个函数呢？

可以这样，\(k\) 是这个函数的 \(x\) 值，\(x,y\) 是对应点的坐标。
\(w(i)=\prod\limits_{i\neq j}^{}\dfrac{k-x_j}{x_i-x_j}\)

因为如果 \(k\) 是 \(x_i\)，那你会发现，分数上下都是一样，那就都是 \(1\)，乘起来也是 \(1\)。
那如果不是 \(x_i\)，而且是在另一个点上，那它必然会存在一个 \(j\)，使得它的 \(x\) 坐标跟 \(j\) 的一样，那上面就变成了 \(0\)，那这个分数就变成了 \(0\)。有一个乘起来的变成了 \(0\)，那全部也会变成 \(0\)。

那你看如何还原出那个多项式。
这里给出还原方法，其实很好理解：
\(f(k)=y_1\times w(1)+y_2\times w(2)+...+y_n\times w(n)\)

没错，就是每一个 \(w\) 函数都是觉得一个点的值为 \(1\)，然后乘上 \(y\) 值就是那个点的大小。这个时候其它点的 \(w\) 函数都是 \(0\)，那整个函数的值就是 \(y\) 值了。

然后就是两个枚举就好了。
\(f(k)=\sum\limits_{i=1}^{n}(y_i\prod\limits_{i\neq j}\dfrac{k-x_j}{x_i-x_j})\)

如果要还原出多项式，就要 \(n^3\)，不是特别优秀。

代码1

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 998244353

using namespace std;

int n, k;
ll x[2001], y[2001], ans, sum;

ll ksm(ll x, ll y) {//求逆元的快速幂
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1ll) re = (re * x) % mo;
		x = (x * x) % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld %lld", &x[i], &y[i]);
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		sum = y[i];//乘上的 y[i]
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			if (i != j) {
				ll now = (k - x[j]) * ksm(x[i] - x[j], mo - 2) % mo;//最里层的
				if (now < 0) now = ((now % mo) + mo) % mo;//可能值会小于0，要把它转回成正的
				sum = (sum * now) % mo;//累乘
			}
		ans = (ans + sum) % mo;//累加
	}
	
	printf("%lld", ans);
	
	return 0;
}

思路2

我们考虑弄一下上面的公式。

考虑到那个累乘的 \(i\neq j\) 很烦，那我们这样，把累乘那里乘上 \(k-x_i\)，然后你的分子就可以整个脱离出来。
然后在前面乘的 \(y_i\) 再除回去。

那就会变成这个：
\(f(k)=\prod\limits_{i=1}^{n}(k-x_i)\sum\limits_{i=1}^{n}(\dfrac{y_i}{k-x_i}\prod\limits_{i\neq j}\dfrac{1}{x_i-x_j})\)

那你如果要求多项式，你可以枚举 \(i\)，然后把 \(\dfrac{1}{k-x_i}\) 拿到外面，然后每次就可以用总共的减去不需要的，就可以 \(O(n)\) 求前面的累乘和你提出来的。
然后其他的也很好求，就可以 \(O(n^2)\) 求。

然后如果要多一个插入的点，你就把最里面的累乘多除以 \(x_i-x_{n+1}\)，然后就可以 \(O(n)\) 求累加的。然后左边的累乘简单一搞就好，那就可以 \(O(n)\) 插入。

而这个东西，就叫做重心拉格朗日插值法。

代码2

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 998244353

using namespace std;

int n, k;
ll x[2001], y[2001], ans1, sum;
ll ans2;

ll ksm(ll x, ll y) {//快速幂求逆元
	if (x < 0) x = (x % mo + mo) % mo;
	
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1ll) re = (re * x) % mo;
		x = (x * x) % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld %lld", &x[i], &y[i]);
	}
	
	ans1 = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//前面的累乘
		ll now = k - x[i];
		if (now < 0) now = (now % mo + mo) % mo;
		ans1 = (ans1 * now) % mo;
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//按着公式算
		ll sum = (y[i] * ksm(k - x[i], mo - 2)) % mo;
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			if (i != j)
				sum = (sum * ksm(x[i] - x[j], mo - 2)) % mo;
		
		ans2 = (ans2 + sum) % mo;
	}
	
	printf("%lld", (ans1 * ans2) % mo);
	
	return 0;
}