【ybt金牌导航8-2-4】【luogu P4111】你的房间 / 小 Z 的房间（矩阵树定理）（高斯消元）

你的房间 / 小 Z 的房间

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题目大意

给你一个二维网格，然后有一些位置是房间，然后房间和房间之间的道路你可以打通。
然后问你有多少种打通方法使得任意两个房间都有且只有一条道路。

思路

其实你会发现有且只有一条道路的话就是要把它弄成类似树的形式。

然后就变成了类似生成树计数之类的？
自然想到矩阵树定理，那我们就把边权设成是无向边，边权为 \(1\) 即可。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 1000000000

using namespace std;

int n, m, tot, bh[101][101];
int dx[4] = {1, 0, -1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
bool a[11][11];
char c;
ll f[101][101];

bool ck(int x, int y) {
	if (x < 1 || x > n) return 0;
	if (y < 1 || y > m) return 0;
	return 1;
}

int get_bh(int x, int y) {
	if (!bh[x][y]) bh[x][y] = ++tot;
	return bh[x][y];
}

ll work(int l, int r) {
	ll ans = 1, zf = 1, tmp;
	for (int i = l; i <= r; i++) {
		int k = i;
		for (int j = i + 1; j <= r; j++)
			if (f[j][i] > f[k][i]) k = j;
		if (k != i) zf = -zf, swap(f[i], f[k]);
		if (!f[i][i]) return 0;
		for (int j = i + 1; j <= r; j++) {
			if (f[j][i] > f[i][i]) zf = -zf, swap(f[i], f[j]);
			while (f[j][i]) {
				tmp = f[i][i] / f[j][i];
				for (int k = i; k <= r; k++)
					f[i][k] = (f[i][k] + f[j][k] * (mo - tmp) % mo) % mo;
				swap(f[i], f[j]); zf = -zf;
			}
		}
		ans = ans * f[i][i] % mo;
	}
	if (zf == -1) return (mo - ans) % mo;
		else return ans;
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			c = getchar();
			while (c != '.' && c != '*') c = getchar();
			if (c == '.') a[i][j] = 1;
		}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			if (a[i][j]) get_bh(i, j);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			if (!a[i][j]) continue;
			for (int k = 0; k < 4; k++) {
				int x = i + dx[k], y = j + dy[k];
				if (!ck(x, y)) continue;
				if (!a[x][y]) continue;
				f[get_bh(i, j)][get_bh(x, y)] = (f[get_bh(i, j)][get_bh(x, y)] - 1 + mo) % mo;
				f[get_bh(x, y)][get_bh(x, y)] = (f[get_bh(x, y)][get_bh(x, y)] + 1) % mo;
			}
		}
	
	if (tot == 1) {
		printf("1"); return 0;
	}
	printf("%lld", work(2, tot));
	
	return 0;
}