【ybt金牌导航8-1-3】【HDU 3949】K小异或和 / XOR

K小异或和 / XOR

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题目大意

给你一些数，你可以任意选数异或。
问你能异或出的数字中第 k 小的那个。

思路

看到异或，自然想到线性基。

但接着问题是如何找。
我们已经可以确定，如果线性基的第 \(i\) 个数不是 \(0\)，那构造出的数就可以选二进制第 \(i\) 位是 \(1/0\)。
但由于线性基别的数二进制第 \(i\) 位可能是 \(1\)，那我们无法很好的搞出保证第 \(i\) 位是 \(1\) 的数。

那我们考虑改造我们的线性基。（线性基不是唯一的）
那我们从大到小枚举 \(p_i\)，然后再从 \(i-1\) 到 \(0\) 枚举 \(j\)，如果 \(p_i\) 的第 \(j\) 为是 \(1\)，我们就把它异或上 \(p_j\)。
这样，我们就构造出了新的线性基，它大概是这个样子的。

1xxx0xxxxx0x0
00001xxxxx0x0
00000000001x0
0000000000001

那就可以愉快的搞了。
但搞的时候你会发现一个问题，原本数可能会异或出 \(0\)，但你从线性基中难以通过异或找到。
那你想，如果不能异或出 \(0\)，那每个数最终都会在线性基中被插入。
那我们可以记线性基中不为 \(0\) 的数的个数是 \(tot\)，那如果 \(tot=n\)，那所有数都被插入，不能异或出 \(0\)，否则就可以异或出 \(0\)。

那接着就是搞。
具体就是你把 \(k\) 弄成二进制，如果第 \(i\) 位是 \(1\)，那就要异或上线性基中从小到大第 \(i\) 个不是 \(0\) 的数。

然后记得如果能构造出 \(0\) 的话 \(k\) 要减去 \(1\)（表示减去 \(0\) 这一种，当然如果减了之后 \(k=0\) 就说明要的就是 \(0\)）
还有就是可能没有第 \(k\) 小的数字，那其实就是构造出的数没有 \(k\) 个。
那就是 \(2^{tot}-1<k\)。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long

using namespace std;

int T, n, tot, q, tmp;
ll p[101], x;

void csh() {
	memset(p, 0, sizeof(p));
	tot = 0;
}

void add(ll x) {//构造线性基
	for (int i = 60; i >= 0; i--)
		if ((x >> i) & 1) {
			if (!p[i]) {
				p[i] = x;
				break;
			}
			x ^= p[i];
		}
}

void work() {//弄出新的线性基
	for (int i = 60; i >= 0; i--)
		if (p[i]) {
			tot++;
			for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
				if ((p[i] >> j) & 1)
					p[i] ^= p[j];
		}
}

ll kth_small(ll k) {//查询第 k 小
	if (tot != n) k--;//有 0
	if (k == 0) return 0;//找的就是 0
	if (k >= (1ll << tot)) return -1;//构造不出那么多的数
	
	ll re = 0;
	for (int i = 0; i <= 60; i++)
		if (p[i]) {
			if (k & 1) re ^= p[i];
			k >>= 1;
		}
	
	return re;
}

int main() {
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		csh();
		printf("Case #%d:\n", ++tmp);
		
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%lld", &x);
			add(x);
		}
		
		work();
		
		scanf("%d", &q);
		while (q--) {
			scanf("%lld", &x);
			printf("%lld\n", kth_small(x));
		}
	}
	
	return 0;
}