【ybt金牌导航6-5-1】【luogu P3810】【模板】三维偏序（陌上花开）

【模板】三维偏序（陌上花开）

题目链接：ybt金牌导航6-5-1 / luogu P3810

题目大意

有一些元素，有 a,b,c 三个属性。
设 f[i] 为满足 i 元素三个属性都大于等于其它元素的个数。

对于每个 x，求 f[i]=x 的数量。

思路

这题有很多种做法，这里就只讲用 CDQ 分治来做。

CDQ 分治是什么呢？
它是一种离线算法，当出现一些题目要用树套树来做的时候，它可以使你不用树套树，可以用一层 CDQ 分治代替一层树。
（CDQ 分治也可以套很多层）

这道题本来是树状数组套树状数组，但是它的空间并不是那么地允许。
那我们就用 CDQ 分治加一层树状数组来做。
（CDQ 分治可以节省一层空间，时间复杂度不变）

接着就是来看什么是 CDQ 分治，要怎么实现。

它主要是把一个序列分成多种情况解决。
首先，看到这种题的第一步骤就是先按一维排序。

那既然是分治嘛，我们就把一种情况分解成几种，然后一些算，一些继续递归。
然后假设我们要解决一个序列，那我们可以把它划分成两个区间。
那如果两个点都在同一个区间，那就是直接可以递归解决，就递归两个区间。

那如果在不同区间呢？
那你通过一开始的排序，就可以确定左区间所有元素的第一维都是小于右区间所有元素的第一维。那就可以不管第一维，而是去把第二维排序。
那就只剩下一维了，就可以用树状数组来做了。
（当然你想继续用 CDQ 分治也不是不行，反正这些跟树套树差不多，你要套你是可以一直套下去的）

然后这道题还要去重，然后把去重后的元素的大小就是原来这个元素的个数。树状数组加值，统计答案还有很多时候，就不是加一而是加这个大小。

为了去重，你第一次排序可以按着三个关键字三级排，这样即排序了，又可以去重。

具体实现可以看看代码。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

struct node {
	int x, y, z, size, sum;
}a[100001], tmp[100001];
int n, k, ans[100001];
int tree[200001], tot;

bool cmp(node x, node y) {//一开始的排序，三个关键字都上
	if (x.x != y.x) return x.x < y.x;
	if (x.y != y.y) return x.y < y.y;
	return x.z < y.z;
}

//CDQ分治中的排序，为了在维护第二个关键字单调上升
//（前面的第一个排序已经维护了右区间第一个关键字大于左区间的）
bool check(node x, node y) {
	if (x.y != y.y) return x.y < y.y;
	return x.z < y.z;
}

void insert(int x, int add_num) {//树状数组操作
	for (; x <= k; x += x & (-x))
		tree[x] += add_num;
}

int get_num(int x) {
	int re = 0;
	for (; x; x -= x & (-x))
		re += tree[x];
	return re;
}

void clear(int x) {//按着原来的路清空树状数组
	for (; x <= k; x += x & (-x)) {
		if (!tree[x]) return ;
		tree[x] = 0;
	}
}

void CDQ(int l, int r) {//CDQ分治
	if (l == r) return ;
	
	int mid = (l + r) >> 1;
	
	CDQ(l, mid);
	CDQ(mid + 1, r);
	
	sort(a + l, a + mid + 1, check);//两个区间排序，使得按第二关键字不下降
	sort(a + mid + 1, a + r + 1, check);
	
	int i = l, j = mid + 1;//双指针
	while (j <= r) {
		while (a[i].y <= a[j].y && i <= mid) {//把前两个关键字比它小的放进树状数组里
			insert(a[i].z, a[i].size);
			i++;
		}
		a[j].sum += get_num(a[j].z);//数组数组统计有多少个数比它小（第三关键字）
		j++;
	}
	
	for (int i = l; i <= r; i++) {//清空树状数组
		clear(a[i].z);//不用memset是为了减少时间
	}
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d %d %d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].z);
	}
	
	sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
	//一开始排序，即可以去重，又使得后面分开区间的时候，左区间的第一关键字一定小于右区间的第一关键字
	
	tot = 1;//去重
	a[tot].size = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (a[i].x == a[i - 1].x && a[i].y == a[i - 1].y && a[i].z == a[i - 1].z) {
			a[tot].size++;
		}
		else {
			tot++;
			a[tot] = a[i];
			a[tot].size = 1;
		}
	}
	
	swap(n, tot);
	CDQ(1, n);
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)//因为你原来的数在去重之后可能不止一个，然后它是大于等于，所以你个数要加上你原来的数的个数-1
		ans[a[i].sum + a[i].size - 1] += a[i].size;//然后因为你原来的数的个数不一定是一，所以每个数的 f 值都是这个，那 f[i]=x 的数量就加上你原来数的个数
	
	for (int i = 0; i < tot; i++)
		printf("%d\n", ans[i]);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBT_JPDH_6-5-1.html
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