【ybt金牌导航6-1-2】向量问题

向量问题

题目链接：ybt金牌导航6-1-2

题目大意

要你支持一些操作：
加一个向量，删除第 i 个向量，给一个向量问当前有的哪个向量与它的点积最大。
如果是当前没有向量输出 0，否则输出这个最大点积。

思路

先看操作 $3$，设给出询问的向量是 $a,b$，你要找到一组原有的 $x,y$，使得 $ax+by$ 最大。
那设这个最大值是 $c$，那就有 $c=ax+by$，移项搞搞什么的就得到了：$y=-a/b*x+c/b$
容易看到当 $c$ 最大时，这个直线的截距就最大。那向量都是在第一象限，所以答案一定是在上凸包上。
那我们可以考虑在上凸壳上二分或者搞什么决策单调化什么的。

但还有一个问题，它有插入删除操作。
那就是说，它向量它只会在一个时间段里出现。
那我们考虑以时间为下标建线段树，然后插入就区间插入，到时查询就跑查询到它这个时间的链，然后链中的每个点的凸包都求一次最大值，然后把这些最大值再取最大值。
而这个线段树以时间为下标，它就是线段树分治。

那你在上凸壳上二分一个 $log$，线段树一个 $log$，复杂度就是 $O(nlog^2n)$

当然我们还可以继续优化，就是把二分换成决策单调化。
我们考虑以一个顺序处理询问，使得它的答案按 $x$ 坐标单调不减，那我们的最右决策点只要不停右移就能找到。
不难想到我们把询问按 $-a/b$ 从大到小排即可。

代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

struct xl {
	int x, y;
};
struct rd {
	int l, r;
	xl p;
}a[200001], b[200001], c[200001];
int n, op, num[200001], x, qn, wn, pl[800001];
ll ans[200001];
vector <xl> v[800001];

xl operator -(xl x, xl y) {//向量减法
	return (xl){x.x - y.x, x.y - y.y};
}

ll dot(xl x, xl y) {//点积
	return 1ll * x.x * y.x + 1ll * x.y * y.y;
}

ll cross(xl x, xl y) {//叉积
	return 1ll * x.x * y.y - 1ll * x.y * y.x;
}

bool cmp1(rd x, rd y) {//按 x 排序
	if (x.p.x != y.p.x) return x.p.x < y.p.x;
	return x.p.y < y.p.y;
}

bool cmp2(rd x, rd y) {//按 -a/b 从大到小排，使得最优决策点按 x 坐标单调不降
	return 1ll * x.p.x * y.p.y < 1ll * y.p.x * x.p.y;
}

//线段树操作
void insert(int now, int l, int r, int L, int R, xl &p) {
	if (L <= l && r <= R) {
		while (v[now].size() >= 2 && cross(p - v[now][v[now].size() - 1], p - v[now][v[now].size() - 2]) <= 0)
			v[now].pop_back();//维护上凸包
		v[now].push_back(p);
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (L <= mid) insert(now << 1, l, mid, L, R, p);
	if (mid < R) insert(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, p);
}

ll query(int now, int l, int r, int pla, xl &p) {
	ll ans = 0;
	if (v[now].size()) {//在路上的每个集合都要找上凸包
		while (pl[now] < v[now].size() - 1 && dot(p, v[now][pl[now] + 1]) >= dot(p, v[now][pl[now]]))
			pl[now]++;
		ans = dot(p, v[now][pl[now]]);
	}
	if (l == r) return ans;
	
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (pla <= mid) return max(ans, query(now << 1, l, mid, pla, p));//然后取最大值
		else return max(ans, query(now << 1 | 1, mid + 1, r, pla, p));
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &op);
		if (op == 1) {
			scanf("%d %d", &a[i].p.x, &a[i].p.y);
			a[i].l = i; a[i].r = n;
			num[++num[0]] = i;
			continue;
		}
		if (op == 2) {
			scanf("%d", &x);
			a[num[x]].r = i - 1;
			a[i].r = -114514;//只是标记，到时好区分操作二操作三
			continue;
		}
		if (op == 3) {
			qn++;
			scanf("%d %d", &c[qn].p.x, &c[qn].p.y);
			c[qn].l = i;
			continue;
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (a[i].l) b[++wn] = a[i];
	sort(b + 1, b + wn + 1, cmp1);
	for (int i = 1; i <= wn; i++)
		insert(1, 1, n, b[i].l, b[i].r, b[i].p);
	
	for (int i = 1; i <= qn; i++)
		ans[c[i].l] = query(1, 1, n, c[i].l, c[i].p);
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (!a[i].r) printf("%lld\n", ans[i]);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBT_JPDH_6-1-2.html
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