【ybt金牌导航5-4-4】【luogu P4842】城市旅行

城市旅行

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题目大意

给你一棵树，要你维护一些操作：
删除某条边（如果两点间不联通就不管）
添加某条边（如果两点间已联通就不管）
给某条路径上的点点权加一个值（如果两点不连通就不管）
询问某条路径上任选两个点，这两个点之间路径的权值和的期望。（如果两点不连通就输出 -1）

思路

看到加边删边找路径，自然想到 LCT。
然后我们考虑如何维护输出的值。

那容易想到，我们可以补考虑选的点，而是考虑一个点，有多少个路径会经过它。
那容易想到对于长度为 $sz$ 的路径，对于第 $i$ 个点，有 $i\times(sz-i+1)$ 个路径经过了它。（左右各选一个）
那它的贡献就是 $i\times(sz-i+1)\times a_i$。

那总贡献就是：$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{sz}i\times(sz-i+1)\times a_i}{C_{sz+1}^2}$
（下面就是 $C_{sz+1}^2$ 因为选的两个点可以是同一个点）

那我们要维护的就是它了，分母很好搞，直接每次算就行，问题是分子。
那我们考虑 DP，已经求出了左右子树，要怎么搞到它。
我们设左子树的大小是 $b_0$，然后序列是 $b_1,b_2,...,b_{b_0}$，右子树大小是 $c_0$，序列是 $c_1,c_2,...,c_{c_0}$。

那对于左子树里面的第 $i$ 个点，它在左子树里面的贡献就是 $i\times(b_0-i+1)\times b_i$，它在这里的贡献就是 $i\times(b_0+c_0+1-i+1)\times b_i$。作差，就是 $i\times b_i\times (c_0+1)$。
那左子树的贡献就是它原本的贡献加上 $(c_0+1)\times\sum\limits_{i=1}^{b_0}i\times b_i$
那我们发现右边的部分（$\sum\limits_{i=1}^{b_0}i\times b_i$）我们也可以 DP，我是用 $lsum$ 数组记录，这里就不讲了，不会的自己看代码。

那接着右子树用同样的方法：
原本：$i\times(c_0-i+1)\times c_i$
现在：$(b_0+1+i)\times(b_0+c_0+1-(b_0+1+i)+1)\times c_i$
$=(b_0+1+i)\times(c_0-i+1)\times c_i$
差：$(b_0+1)\times(c_0-i+1)\times c_i$
那左子树的贡献就是它原本的贡献加上 $(b_0+1)\times\sum\limits_{i=1}^{b_0}(c_0-i+1)\times c_i$
然后右边部分（$\sum\limits_{i=1}^{b_0}(c_0-i+1)\times c_i$）继续 DP，我是用 $rsum$ 数组记录。

接着就是新的点，那这个其实容易，就直接暴力算：$a\times(b_0+1)\times(c_0+1)$。（记得加一）

那查询我们就搞定了，接着，就是修改了。（加边删边就是普通 LCT，不用搞）
那我们也是懒标记，那每次要怎么改呢？
首先权值就普通的加，权值和就加上它乘大小。
接着是 $lsum,rsum$，容易看到你每个数每加 $x$，值就会多 $x+2x+3x+4x+...$，那就是 $x\times (1+sz)\times sz / 2$
那接着就是 $ans$，即期望的分子，那我们可以列出式子：$ans+=\sum\limits_{i=1}^{sz}i\times(sz-i+1)\times d$

然后我们由化简可以得到 $ans+=\dfrac{sz(sz+1)(sz+2)}{6}\times d$
然后就可以搞啦！

化简过程

知道的可以不看。
要搞的东西：$\sum\limits_{i=1}^{sz}i\times(sz-i+1)=\dfrac{sz(sz+1)(sz+2)}{6}$
首先考虑让其中一项固定：
$\sum\limits_{i=1}^{sz}i\times(sz-i+1)=\sum\limits_{i=1}^{sz}i\times sz-\sum\limits_{i=1}^{sz}i\times(i-1)$
然后右边部分考虑去括号：$\sum\limits_{i=1}^{sz}i\times sz-\sum\limits_{i=1}^{sz}(i^2-i)$
分别拿出来：$sz\times\sum\limits_{i=1}^{sz}i-\sum\limits_{i=1}^{sz}i^2+\sum\limits_{i=1}^{sz}i$
然后都可以去掉 $\sum$：$sz\times\frac{(sz+1)\times sz}{2}-\frac{sz(sz+1)(2\times sz+1)}{6}+\frac{(sz+1)\times sz}{2}$
合并一下：$\frac{3(sz+1)(sz+1)sz}{6}-\frac{sz(sz+1)(2sz+1)}{6}$
$\frac{(3sz+3)(sz+1)sz}{6}-\frac{(2sz+1)(sz+1)sz}{6}$
$\frac{(sz+2)(sz+1)sz}{6}$
然后就好啦！

可能有人（指我自己）会不知道为什么 $\sum\limits_{i=1}^{sz}i^2=\dfrac{sz(sz+1)(2sz+1)}{6}$
然后这里也讲讲，这个是用立方差来搞的。
$x^3-(x-1)^3=x^3-(x^3-3x^2+3x-1)=3x^2-3x+1$
然后根据这个，我们把 $(n^3-(n-1)^3)+((n-1)^3-(n-2)^3)+...+(2^3-1^3)$ 每个都转。
那互相消掉，就是 $n^3-1^3=(3n^2-3n+1)+(3(n-1)^2-3(n-1)+1)+...+(3\times2^2-3\times2+1)$
拆开：$n^3-1=3n^2+3(n-1)^2+...+3\times2^2-(3n+3(n-1)+...+3\times2+(n-1))$
然后继续搞：$n^3-1=3(n^2+(n-1)^2+...+2^2)-3(n+(n-1)+...+2)+(n-1)$
移项：$3(n^2+(n-1)^2+...+2^2+1^2)=n^3-1-(n-1)+\frac{3(n+2)(n-1)}{2}+3\times1^2$
$3(n^2+(n-1)^2+...+2^2+1^2)=n^3-n+3+\frac{3(n+2)(n-1)}{2}$
$(n^2+(n-1)^2+...+2^2+1^2)=\frac{2n^3-2n+6+3(n+2)(n-1)}{6}$
$=\frac{2n^3-2n+6+3(n^2+n-2)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}=\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
然后就有了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

int n, m, sz[50001], d;
int l[50001], r[50001], fa[50001];
ll ans[50001], val[50001], lz[50001];
ll lsum[50001], rsum[50001], sum[50001];
bool lzs[50001];
int op, x, y;

//LCT
bool nrt(int x) {
	return l[fa[x]] == x || r[fa[x]] == x;
}

bool ls(int x) {
	return l[fa[x]] == x;
}

void up(int x) {//把推公式推出来的放上去
	sz[x] = sz[l[x]] + sz[r[x]] + 1;
	sum[x] = sum[l[x]] + sum[r[x]] + val[x];
	
	//DP 维护 lsum rsum
	lsum[x] = lsum[l[x]] + val[x] * (sz[l[x]] + 1) + (lsum[r[x]] + sum[r[x]] * (sz[l[x]] + 1));
	rsum[x] = rsum[r[x]] + val[x] * (sz[r[x]] + 1) + (rsum[l[x]] + sum[l[x]] * (sz[r[x]] + 1));
	ans[x] = ans[l[x]] + ans[r[x]] + (sz[r[x]] + 1) * lsum[l[x]] + (sz[l[x]] + 1) * rsum[r[x]] + val[x] * (sz[l[x]] + 1) * (sz[r[x]] + 1); 
}

void downa(int x, ll Val) {
	val[x] += Val;
	lz[x] += Val;
	sum[x] += Val * sz[x];
	
	lsum[x] += Val * (1 + sz[x]) * sz[x] / 2;
	rsum[x] += Val * (sz[x] + 1) * sz[x] / 2;
	ans[x] += Val * sz[x] * (sz[x] + 1) * (sz[x] + 2) / 6;
}

void downs(int x) {
	swap(l[x], r[x]);
	swap(lsum[x], rsum[x]);//记得这个也要 swap
	lzs[x] ^= 1;
} 

void down(int x) {
	if (lzs[x]) {
		if (l[x]) downs(l[x]);
		if (r[x]) downs(r[x]);
		lzs[x] = 0;
	}
	if (lz[x]) {
		if (l[x]) downa(l[x], lz[x]);
		if (r[x]) downa(r[x], lz[x]);
		lz[x] = 0;
	}
}

void down_line(int x) {
	if (nrt(x)) down_line(fa[x]);
	down(x);
}

void rotate(int x) {
	int y = fa[x];
	int z = fa[y];
	int b = (ls(x) ? r[x] : l[x]);
	if (z && nrt(y)) (ls(y) ? l[z] : r[z]) = x;
	if (ls(x)) r[x] = y, l[y] = b;
		else l[x] = y, r[y] = b;
	fa[x] = z;
	fa[y] = x;
	if (b) fa[b] = y;
	up(y);
}

void Splay(int x) {
	down_line(x);
	while (nrt(x)) {
		if (nrt(fa[x])) {
			if (ls(x) == ls(fa[x])) rotate(fa[x]);
				else rotate(x);
		}
		rotate(x);
	}
	up(x);
}

void access(int x) {
	int lst = 0;
	for (; x; x = fa[x]) {
		Splay(x);
		
		r[x] = lst;
		up(x);
		lst = x;
	}
}

void make_root(int x) {
	access(x);
	Splay(x);
	downs(x);
}

int find_root(int x) {
	access(x);
	Splay(x);
	while (l[x]) {
		down(x);
		x = l[x];
	}
	Splay(x);
	return x;
}

int split(int x, int y) {
	make_root(x);
	if (find_root(y) != x) return -1; 
	access(y);
	Splay(y);
	return y;
}

void cut(int x, int y) {//连和断的时候都要判断连通
	make_root(x);
	if (find_root(y) != x) return ;
	access(y);
	Splay(y);
	l[y] = 0;
	fa[x] = 0;
}

void link(int x, int y) {
	make_root(x);
	if (find_root(y) != x)
		fa[x] = y;
}

ll gcd(ll x, ll y) {
	if (!y) return x;
	return gcd(y, x % y);
}

void write(ll x, ll y) {
	ll GCD = gcd(x, y);
	x /= GCD; y /= GCD;
	printf("%lld/%lld\n", x, y);
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &val[i]), sz[i] = 1, sum[i] = lsum[i] = rsum[i] = ans[i] = val[i];
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		scanf("%d %d", &x, &y);
		link(x, y);
	}
	
	while (m--) {
		scanf("%d %d %d", &op, &x, &y);
		
		if (op == 1) {
			cut(x, y);
			continue;
		}
		if (op == 2) {
			link(x, y);
			continue;
		}
		if (op == 3) {
			scanf("%d", &d);
			if (find_root(x) != find_root(y)) continue;//记得操作前要判断是否连通
			x = split(x, y);
			downa(x, d);
			continue;
		}
		if (op == 4) {
			if (find_root(x) != find_root(y)) {printf("-1\n");continue;}
			x = split(x, y);
			write(ans[x], 1ll * sz[x] * (sz[x] + 1) / 2);
			continue;
		}
	}
	
	return 0;
}

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本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBT_JPDH_5-4-4.html
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