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动态排名 / Dynamic Rankings

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题目大意

要你支持可修改的区间第 k 小。

思路

看到题目，情不自禁地想到了可插入可修改的区间第 k 小（什么直接上替罪羊套线段树）。

但是很明显没有插入操作，可以不用平衡树。

那重新搞，先看没有修改，那就是直接一个主席树就完事。
那如果多了修改，我们考虑到修改一个点 $x$ 会对 $x\sim n$ 的线段树都会产生影响，显然你要一个一个修改，时间就炸了。
那你考虑到前缀和的查询是 $O(1)$，非常优秀，但它有着修改 $O(n)$ 的确定。

那我们考虑用另一个数据结构来代替，使得它查询和修改都能比较小（比如 $O(1),O(\sqrt{n}),O(logn)$）
然后你就想到了查询和修改都是 $O(logn)$ 的树状数组。
那我们就把外面的前缀和改成树状数组，每次要放一个点进去，就树状数组找它影响的位置，然后在这些位置对于的线段树中这个位置放这个数。
然后查询就是先树状数组找出影响着两个位置的线段树。（因为我们还是要用前缀和来统计，所以找的是 $x-1$ 和 $y$）
然后就在树上二分，每次所有位置全部往左 / 往右走。
（这个其实就是带修主席树，不过理解成树状数组套线段树也可以）

然后修改操作就相当于在这个位置中把之前的数删掉，然后再放入你现在的数。
那就分解成两个前面一样的操作了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

struct Tree {
	int l, r, val;
}t[100001 << 8];
int D, n, m, rt[100001], tot, x[100001], y[100001], z[100001];
int a[100001], b[200001], ts[2][30];
char op[100001];

int read() {
	int re = 0;
	char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		re = (re << 3) + (re << 1) + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return re;
}

void insert(int &now, int l, int r, int pl, int num) {//在线段树中插入一个点
	if (!now) now = ++tot, t[now] = (Tree){0, 0, 0};
	t[now].val += num;
	
	if (l != r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (pl <= mid) insert(t[now].l, l, mid, pl, num);
			else insert(t[now].r, mid + 1, r, pl, num);
	}
}

void insert_(int x, int num) {
	int pl = lower_bound(b + 1, b + b[0] + 1, a[x]) - b;
	for (; x <= n; x += x & (-x)) insert(rt[x], 1, b[0], pl, num);//树状数组看它会影响到的位置，然后里面都加点
}

int query(int l, int r, int rnk) {
	if (l == r) return l;
	
	int mid = (l + r) >> 1;
	int re = 0;
	for (int i = 1; i <= ts[1][0]; i++)//都往左走，用前缀和的方法统计满足的数个数
		re += t[t[ts[1][i]].l].val;
	for (int i = 1; i <= ts[0][0]; i++)
		re -= t[t[ts[0][i]].l].val;
	
	if (re >= rnk) {//根据结果二分（所有点都向左 / 向右走）
		for (int i = 1; i <= ts[1][0]; i++)
			ts[1][i] = t[ts[1][i]].l;
		for (int i = 1; i <= ts[0][0]; i++)
			ts[0][i] = t[ts[0][i]].l;
		return query(l, mid, rnk);
	}
	else {
		for (int i = 1; i <= ts[1][0]; i++)
			ts[1][i] = t[ts[1][i]].r;
		for (int i = 1; i <= ts[0][0]; i++)
			ts[0][i] = t[ts[0][i]].r;
		return query(mid + 1, r, rnk - re); 
	}
}

int query_(int x, int y, int z) {
	memset(ts, 0, sizeof(ts));//把计算它的点全部找出来
	for (int xx = x - 1; xx; xx -= xx & (-xx)) ts[0][++ts[0][0]] = rt[xx];//记得这里是前缀和，所以是 x-1
	for (int yy = y; yy; yy -= yy & (-yy)) ts[1][++ts[1][0]] = rt[yy];
	
	return b[query(1, b[0], z)];
}

int main() {
	n = read(); m = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		a[i] = read();
		b[++b[0]] = a[i];
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		op[i] = getchar();
		while (op[i] != 'Q' && op[i] != 'C') op[i] = getchar();
		if (op[i] == 'Q') x[i] = read(), y[i] = read(), z[i] = read();
			else x[i] = read(), y[i] = read(), b[++b[0]] = y[i];
	}
	
	sort(b + 1, b + b[0] + 1);//离散化
	b[0] = unique(b + 1, b + b[0] + 1) - b - 1;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		insert_(i, 1);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		if (op[i] == 'C') {//替换就相当于在这个位置减掉之间的，再加现在的
			insert_(x[i], -1);
			a[x[i]] = y[i];
			insert_(x[i], 1);
		}
		else {
			printf("%d\n", query_(x[i], y[i], z[i]));
		}
	}
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBT_JPDH_4-6-6.html
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