【ybtoj高效进阶 21286】等差数列（数学）（分类讨论）

等差数列

题目链接：ybtoj高效进阶 21286

题目大意

给你一个数组 A，里面元素互不相同，问你是否可以把它重排成一个数组 B，使得它在模 M 的意义下是等差序列。
只需输出首项和公差即可。

思路

首先发现 \(M\) 是质数，那就说明无论公差是什么（反正他都是小于 \(M\)），那它在模 \(M\) 意义下的循环节一定是 \(M\)，也就是依次把 \(0\sim M-1\) 的数都遍历一遍。

考虑进行分类讨论，首先随便找到两个数的差，那它肯定是可以用 \(Kd\) 表示的。（\(d\) 是公差，\(K\) 就是一个普通的整数）

如果 \(2n\leqslant M\)，那就应该恰好有 \(K\) 个数字 \(x\) 是满足 \(x+Kd\) 是不在这个序列中的。那我们就可以得到 \(K\) 从而得到 \(d\)。
说明：那我们 \(+Kd\) 就相当于跳到它等差序列后面 \(K\) 位，那如果它是一个等差序列，那 \(n-K+1\sim n\) 项加上之后就是空的，一共是 \(K\) 个。
但因为它是一个环状，所以有限制条件是 \(2n\leqslant M\)，这样它就算是最后一个加了也不会转一圈那么多。

那接着就是 \(2n>M\)，这个时候最后一个加了就会超过一圈了。
那似乎又变得很难搞了？
其实不，你想想不是数组中的那一半。
对，它也是等差序列啊，你可以求那个等差序列的答案，然后移一下首项就好啦！

接着考虑如何实现，用 STL 的 lower_bound 即可实现。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

ll T, m, n, a[100001];
ll fir, b[100001], t, d;
bool in[100001];

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % m;
		x = x * x % m;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

void work(ll *a, ll n) {
	if (n == 1) {
		fir = a[1]; d = 1;
		return ;
	}
	
	ll kd = a[2] - a[1], k = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (a[lower_bound(a + 1, a + n + 1, (a[i] + kd) % m) - a] != (a[i] + kd) % m)
			k++;
	}
	
	d = kd * ksm(k, m - 2) % m; fir = -1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (a[lower_bound(a + 1, a + n + 1, (a[i] - d + m) % m) - a] != (a[i] - d + m) % m) {
			if (fir == -1) fir = a[i];
				else {
					fir = -1;
					return ;
				}
		}
	}
}

int main() {
//	freopen("sequence.in", "r", stdin);
//	freopen("sequence.out", "w", stdout);
	
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		memset(in, 0, sizeof(in));
		
		scanf("%lld %lld", &m, &n);
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%lld", &a[i]);
		}
		
		sort(a + 1, a + n + 1);
		
		ll kd = a[2] - a[1], k = 0;
		if (n * 2 <= m) {
			work(a, n);
		}
		else {
			t = 0;
			for (int i = 0; i < m; i++)
				if (a[lower_bound(a + 1, a + n + 1, i) - a] != i)
					b[++t] = i;
			work(b, t);
			if(fir != -1) {
				fir = (fir + d * t % m) % m;
			}
		}
		
		if (fir == -1) {
			printf("-1\n");
			continue;
		}
		printf("%lld %lld\n", fir, d);
	}
	
	return 0;
}