【ybtoj高效进阶 21278】内需消费（线段树）（广义矩阵乘法）（DP）

内需消费

题目链接：ybtoj高效进阶 21278

题目大意

给你一个数组，然后要你支持两个操作，修改某一个位置的值，或者询问从一个地方走到另一个地方的最大分数。
分数是你从一个地方沿着数组走，可以选择买入卖出或不变，然后同一时刻只能买入一件东西，资金无限。

思路

考虑单个怎么搞，不难想到是 DP，设 $f_{i,0/1}$ 表示当前在 $i$，身上没有或有东西的分数。
$f_{i,0}=\max\{f_{i-1,0},f_{i-1,1}+a_i\}$
$f_{i,1}=\max\{f_{i-1,0}-a_i,f_{i-1,1}\}$

发现它只跟前面一个有关，而且似乎可以用矩阵转换？
当然不是矩阵乘法，我们广义一下，之前是乘了加起来，现在是加了求最大值。

然后你可以用一个线段树维护一个区间的矩阵，然后每次拎出来一段区间，或者修改一个值的位置就好了。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>

using namespace std;

struct matrix {
	int n, m;
	int a[3][3];
}t[100001 << 2], t_[100001 << 2];
int n, m, v[100001];
int op, x, y;

matrix operator *(matrix x, matrix y) {//广义矩阵乘法
	matrix re;
	re.n = x.n; re.m = y.m;
	for (int i = 1; i <= re.n; i++)
		for (int j = 1; j <= re.m; j++)
			re.a[i][j] = -2e9;
	for (int k = 1; k <= x.m; k++)
		for (int i = 1; i <= re.n; i++)
			for (int j = 1; j <= re.m; j++)
				re.a[i][j] = max(re.a[i][j], x.a[i][k] + y.a[k][j]);
	return re;
}

void up(int now) {//线段树
	t[now] = t[now << 1] * t[now << 1 | 1];
}

void build(int now, int l, int r) {
	if (l == r) {
		t[now].n = t[now].m = 2;
		t[now].a[1][1] = 0; t[now].a[1][2] = -v[l];
		t[now].a[2][1] = v[l]; t[now].a[2][2] = 0;
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(now << 1, l, mid);
	build(now << 1 | 1, mid + 1, r);
	up(now);
}

void change(int now, int l, int r, int pl) {
	if (l == r) {
		t[now].n = t[now].m = 2;
		t[now].a[1][1] = 0; t[now].a[1][2] = -v[l];
		t[now].a[2][1] = v[l]; t[now].a[2][2] = 0;
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (pl <= mid) change(now << 1, l, mid, pl);
		else change(now << 1 | 1, mid + 1, r, pl);
	up(now);
}

matrix query(int now, int l, int r, int L, int R) {
	if (L <= l && r <= R) return t[now];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (L > mid) return query(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
	if (mid >= R) return query(now << 1, l, mid, L, R);
	return query(now << 1, l, mid, L, R) * query(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
}

void up_(int now) {
	t_[now] = t_[now << 1] * t_[now << 1 | 1];
}

void build_(int now, int l, int r) {
	if (l == r) {
		t_[now].n = t_[now].m = 2;
		t_[now].a[1][1] = 0; t_[now].a[1][2] = -v[n - l + 1];
		t_[now].a[2][1] = v[n - l + 1]; t_[now].a[2][2] = 0;
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build_(now << 1, l, mid);
	build_(now << 1 | 1, mid + 1, r);
	up_(now);
}

void change_(int now, int l, int r, int pl) {
	if (l == r) {
		t_[now].n = t_[now].m = 2;
		t_[now].a[1][1] = 0; t_[now].a[1][2] = -v[n - l + 1];
		t_[now].a[2][1] = v[n - l + 1]; t_[now].a[2][2] = 0;
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (pl <= mid) change_(now << 1, l, mid, pl);
		else change_(now << 1 | 1, mid + 1, r, pl);
	up_(now);
}

matrix query_(int now, int l, int r, int L, int R) {
	if (L <= l && r <= R) return t_[now];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (L > mid) return query_(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
	if (mid >= R) return query_(now << 1, l, mid, L, R);
	return query_(now << 1, l, mid, L, R) * query_(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
}

int main() {
//	freopen("trade.in", "r", stdin);
//	freopen("trade.out", "w", stdout);
	
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &v[i]);
	
	build(1, 1, n);
	build_(1, 1, n);
	while (m--) {
		scanf("%d", &op);
		if (op == 1) {
			scanf("%d %d", &x, &y);
			if (x <= y)	printf("%d\n", query(1, 1, n, x, y).a[1][1]);
				else printf("%d\n", query_(1, 1, n, n - x + 1, n - y + 1).a[1][1]);
		}
		if (op == 2) {
			scanf("%d %d", &x, &y);
			v[x] = y;
			change(1, 1, n, x);
			change_(1, 1, n, n - x + 1);
		}
	}
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBTOJ_GXJJ_21278.html
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