【ybtoj高效进阶 21277】逆序对数(数学)(DP)
逆序对数
题目链接:ybtoj高效进阶 21277
题目大意
问你有多少个长度为 n 的排列的逆序对个数是 n。
思路
你考虑不断加入越来越大的数,那每次给逆序对个数的贡献区间就是 0∼i−1。
总的来讲,每次贡献的上界是 1,2,..,n−1。
然后 DP 当然会超时,考虑小小容斥一下。
考虑到要的个数和是 n,相对 n(n+1)/2 很小,考虑从这里下手。
设 fi,j 为有至少 i 个超过限制,当前的和是 j 的方案数。
那不难想到答案就是容斥一下,如果 i 是奇数对答案的贡献就是负的,否则是正的。
那当然这个是排好序的,剩下的部分没有排序,我们就直接暴力出来 n−i 个位置。
根据插板法:Cn−1(n−1)+n−1
考虑每次新放一个数,放不超过限制的还是超过限制的。
然后你考虑怎么一搞:把所有数都加一个,然后再前面放 1 或者 2。
那每次增加的就是 i 或者 i+1。
而且从 i,j,不超过限制就是转移到 i,j+i,超过限制就是转移到 i+1,j+i+1。
然后搞一搞即可。
代码
#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 1000000007
using namespace std;
int n;
ll f[501][100001], jc[200001], inv[200001];
ll get_c[100001], ans;
ll ksm(ll x, ll y) {
ll re = 1;
while (y) {
if (y & 1) re = re * x % mo;
x = x * x % mo;
y >>= 1;
}
return re;
}
ll C(int x, int y) {
if (x < y) return 0;
return jc[x] * inv[y] % mo * inv[x - y] % mo;
}
int main() {
// freopen("pairs.in", "r", stdin);
// freopen("pairs.out", "w", stdout);
scanf("%d", &n);
jc[0] = 1;//预处理
for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;
inv[2 * n] = ksm(jc[2 * n], mo - 2);
for (int i = 2 * n - 1; i >= 0; i--)
inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mo;
for (int i = 0; i <= n; i++)
get_c[i] = C(i + n - 1, n - 1);
ans = get_c[n];
f[1][1] = 1;
for (int j = 1; j * (j + 1) / 2 <= n; j++)//DP
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (j & 1) ans = (ans + mo - f[j][i] * get_c[n - i] % mo) % mo;
else ans = (ans + f[j][i] * get_c[n - i] % mo) % mo;
if (i + j <= n) f[j][i + j] = (f[j][i + j] + f[j][i]) % mo;
if (i + j < n) f[j + 1][i + j + 1] = (f[j + 1][i + j + 1] + f[j][i]) % mo;
}
printf("%lld", ans);
return 0;
}
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 深入理解 Mybatis 分库分表执行原理
· 如何打造一个高并发系统?
· .NET Core GC压缩(compact_phase)底层原理浅谈
· 现代计算机视觉入门之:什么是图片特征编码
· .NET 9 new features-C#13新的锁类型和语义
· Sdcb Chats 技术博客:数据库 ID 选型的曲折之路 - 从 Guid 到自增 ID,再到
· 语音处理 开源项目 EchoSharp
· 《HelloGitHub》第 106 期
· Spring AI + Ollama 实现 deepseek-r1 的API服务和调用
· 使用 Dify + LLM 构建精确任务处理应用