【ybtoj高效进阶 21262】头文字 D（线段树）（数学）

头文字 D

题目链接：ybtoj高效进阶 21262

题目大意

给你一个排列，问你有多少个长度大于 1 的区间，满足这个区间的所有长度大于 1 的子区间的 gcd 和的最大值为 x。
对于每个 x 都要求解。

思路

首先我们考虑从 $n$ 到 $1$ 求每个答案。

那如果能有这个答案，它一定是由两个 $x$（的倍数）或以上组成的。
但它不一定是，可能答案是这个 $x$ 的倍数。

那我们先不管，我们先找到位置，记为 $pl_i$。
（$pl_0=0$）

那对于任意一个 $i(1\leqslant i<m)$，会有 $[pl_{i-1}+1,pl_i]$ 中的左端点和 $[pl_{i+1},n]$ 中的右端点组成的右区间就一定包含至少两个 $x$ 的倍数。

然后接下来处理答案不是 $x$ 而是 $x$ 的倍数的，那因为我们是从大到小枚举的，这个时候这些位置都会被碰过。
那我们再搞一个数组 $pos_i$ 表示 $i$ 为左端点，右端点最多能移动到哪里，使得这个区间都没有被碰过。
显然 $pos_i$ 单调递增。

那我们考虑用线段树维护，对于前面我们枚举的每个区间，我们先找到 $[pl_{i-1}+1,pl_i]$ 中第一个 $pos_i$ 大于 $pl_{i+1}$ 的位置 $l$。
那这些位置都可以有，就是 $[l,pl_i]$ 的 $pos$ 值都变成 $pl_{i+1}-1$。

不难发现每次能算出来的结果就是 $pos$ 值改变的位置数，其实就是线段树全局和的差值。

然后就好了。
枚举哪个答案 $O(n)$，枚举它的倍数 $O(logn)$，线段树 $O(logn)$，所以是 $O(nlog^2n)$ 可以过。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

int n, a[100001], pl[100001];
ll ans[100001], lst, now;
int b[100001], bn;

struct node {//线段树（维护和，最大值）
	ll sum[400001], maxn[400001];
	ll lzy[400001];
	
	void up(int now) {
		sum[now] = sum[now << 1] + sum[now << 1 | 1];
		maxn[now] = max(maxn[now << 1], maxn[now << 1 | 1]);
	}
	
	void down(int now, int l, int r) {
		if (!lzy[now]) return ;
		int mid = (l + r) >> 1, ls = mid - l + 1, rs = r - mid;
		sum[now << 1] = 1ll * lzy[now] * ls;
		sum[now << 1 | 1] = 1ll * lzy[now] * rs;
		maxn[now << 1] = maxn[now << 1 | 1] = lzy[now];
		lzy[now << 1] = lzy[now << 1 | 1] = lzy[now];
		lzy[now] = 0;
	}
	
	void insert(int now, int l, int r, int L, int R, int val) {
		if (L <= l && r <= R) {
			sum[now] = 1ll * val * (r - l + 1);
			maxn[now] = val; lzy[now] = val;
			return ;
		}
		
		down(now, l, r);
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (L <= mid) insert(now << 1, l, mid, L, R, val);
		if (mid < R) insert(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, val);
		up(now);
	}
	
	ll query_sum(int now, int l, int r, int L, int R) {
		if (L <= l && r <= R) return sum[now];
		
		down(now, l, r);
		int mid = (l + r) >> 1;
		ll re = 0;
		if (L <= mid) re += query_sum(now << 1, l, mid, L, R);
		if (mid < R) re += query_sum(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
		return re;
	}
	
	ll query_big(int now, int l, int r, int L, int R, int k) {
		if (l == r) return l;
		
		down(now, l, r);
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (L <= mid && maxn[now << 1] > k) return query_big(now << 1, l, mid, L, R, k);
		if (mid < R && maxn[now << 1 | 1] > k) return query_big(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, k);
		return -1;
	}
}T;

int main() {
//	freopen("gcd.in", "r", stdin);
//	freopen("gcd.out", "w", stdout);
	
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]); pl[a[i]] = i;
	}
	
	T.insert(1, 1, n, 1, n, n);
	lst = T.query_sum(1, 1, n, 1, n);
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		int j = i; bn = 0;
		b[0] = 0;
		while (j <= n) {//找到每个它的倍数在原数组中的位置
			b[++bn] = pl[j];
			j += i;
		}
		sort(b + 1, b + bn + 1);//排序
		for (int j = 1; j < bn; j++) {//操作
			int l = T.query_big(1, 1, n, b[j - 1] + 1, b[j], b[j + 1] - 1);
			if (l != -1) T.insert(1, 1, n, l, b[j], b[j + 1] - 1);
		}
		
		now = T.query_sum(1, 1, n, 1, n);
		ans[i] = lst - now;//答案为线段树的和的变化
		lst = now;
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		printf("%lld\n", ans[i]);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBTOJ_GXJJ_21262.html
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