【ybtoj高效进阶 21261】头文字 C（单调队列优化DP）

头文字 C

题目链接：ybtoj高效进阶 21261

题目大意

给你一个数组，然后问你最多能分成多少段，使得每一段的值不增。
每一段的值是这一段的数的和。

思路

首先我们把序列翻转，变成要单调不降。

然后考虑 DP，设 $f_{i,j}$ 为把前 $i$ 个数最多能分成多少段（最后一段是 $j+1\sim i$）。
那不难得到一个 $O(n^3)$ 的转移：$f_{i,j}=\sum\limits_{k<j,S_j-S_k\leqslant S_i-S_j}\{f_{j,k}+1\}$

然后我们考虑优化，首先我们要想到一个性质，就是在上面的转移中同样的 $i,j$，如果两个 $k$ 都可以转移，而且 $k_1<k_2$，那么 $k_2$ 一定不会比 $k_1$ 劣。
（因为你都可以转移了，我们肯定就是要缩小上一段的，让它恰好比这一段大一点，所以 $k$ 能靠后就靠后）

那我们就可以进行一个优化，直接设 $f_{i}$ 为搞定前 $i$ 个数最多分成多少段。
然后用另一个数组 $suf_i$ 记着最后一段的大小。
那我们就得到 $O(n^2)$ 的转移：
$f_{i}=\sum\limits_{j<i,suf_j\leqslant S_i-S_j}\{f_{j}+1\}$

稍微把条件移项一下有 $S_i\geqslant suf_j+S_j$，发现 $S_i$ 单调递增，决策的集合越来越大。
我们就维护一个 $j$ 递增，$suf_j+S_j$ 递增的单调队列即可。

代码

#include<cstdio>
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f

using namespace std;

int n, a[100002];
int ans, suf[100002];
int f[100001], sta[100001];

int main() {
//	freopen("read.txt", "r", stdin);
//	freopen("block.in", "r", stdin);
//	freopen("block.out", "w", stdout);
	
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[n - i + 1]);
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		a[i] += a[i - 1];
	
	int l = 1;
	sta[++sta[0]] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		while (l < sta[0] && suf[sta[l + 1]] + a[sta[l + 1]] <= a[i]) l++;//找到最右的能满足的
		f[i] = f[sta[l]] + 1;//转移
		suf[i] = a[i] - a[sta[l]];//放进单调队列里面
		while (l <= sta[0] && suf[i] + a[i] <= suf[sta[sta[0]]] + a[sta[sta[0]]])
			sta[0]--;
		sta[++sta[0]] = i;
	}
	
	printf("%d", f[n]);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBTOJ_GXJJ_21261.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！