【YBT2023寒假Day6 B】树的计数（贪心）（DP）（拉格朗日插值）

树的计数

题目链接：YBT2023寒假Day6 B

题目大意

定义无标号树的大小是节点个数，权值是最大独立集大小，树的儿子有序，然后给你 n，要你求对于每个 i=1~n，j=0~n，大小是 i 权值是 j 的不同树的数量。

思路

考虑怎么求权值，树上求最大独立集有一个贪心的方法。
一开始先全部选叶子，接着往上看，如果没有儿子被选就选他，否则就不选它。
（因为叶子如果有的话肯定不少于它祖先的数量，而且不选祖先可以让更上面有机会能选）

然后可以列出一个方便的 DP（因为不需要 \(\min,\max\)）：
设 \(f_{i,j,0/1}\) 为大小为 \(i\) 的，权值是 \(j\) 的树，根不在 / 在独立集中的方案数。
初始化是 \(f_{1,1,1}=1\)。

转移：
\(f_{i-k,j-l,1}*f_{k,l,0}\rightarrow f_{i,j,1}\)
\(f_{i-k,j-l,0}*f_{k,l,0/1}\rightarrow f_{i,j,0}\)
\(f_{i-k,j-l+1,1}*f_{k,l,1}\rightarrow f_{i,j,0}\)

看到第二维是一个卷积的形式（第三个乘一个 \(x^{-1}\) 即可）
那就写成多项式：
\(F_{i,0/1}=\sum\limits_{j=0}^nf_{i,j,0/1}x^j\)

转移就是：
\(F(i-k,1)*F(k,0)\rightarrow F(i,1)\)
\(F(i-k,0)*F(k,0/1)\rightarrow F(i,0)\)
\(F(i-k,1)*F(k,1)*x^{-1}\rightarrow F(i,0)\)

那 \(F(i,0/1)\) 是 \(n+1\) 次的多项式，那我们给 \(x\) 赋 \(n+1\) 个值，分别 DP 一次。
那我们就可以通过拉格朗日插值求出多项式，然后就可以 \(O(n^3)\) 求出所有的 \(f_{i,j,0/1}\)。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define mo 998244353

using namespace std;

const int N = 550;
int n, f[N][N][2], g[N][N], ans[N][N];
int jc[N], inv[N], invs[N], tmp[2][N];

void addin(int &x, int y) {x = (x + y) >= mo ? x + y - mo : x + y;}
int add(int x, int y) {return x + y >= mo ? x + y - mo : x + y;}
int dec(int x, int y) {return x < y ? x - y + mo : x - y;}
int mul(int x, int y) {return 1ll * x * y % mo;}
int ksm(int x, int y) {
	int re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = mul(re, x);
		x = mul(x, x); y >>= 1;
	}
	return re;
}

void la(int n, int *f, int *g) {//求多项式系数 
	memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
	tmp[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
		memset(tmp[i & 1], 0, sizeof(tmp[i & 1]));
		tmp[i & 1][0] = mul(tmp[(i & 1) ^ 1][0], mo - i);
		for (int j = 1; j <= i; j++)
			tmp[i & 1][j] = add(tmp[(i & 1) ^ 1][j - 1], mul(tmp[(i & 1) ^ 1][j], mo - i));
	}
	memcpy(tmp[n & 1], tmp[(n & 1) ^ 1], sizeof(tmp[n & 1]));
	for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
		memcpy(tmp[1], tmp[0], sizeof(tmp[1]));
		int now = mul(f[i], mul(mul(invs[i - 1], invs[n + 1 - i]), ((n + 1 - i) & 1) ? (mo - 1) : 1));
		for (int j = n; j >= 0; j--) {
			tmp[1][j] = add(tmp[1][j], mul(tmp[1][j + 1], i));
			g[j] = add(g[j], mul(tmp[1][j + 1], now));
		}
	}
}

int main() {
	freopen("indset.in", "r", stdin);
	freopen("indset.out", "w", stdout);
	
	jc[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) jc[i] = mul(jc[i - 1], i);
	inv[0] = inv[1] = 1; for (int i = 2; i < N; i++) inv[i] = mul(inv[mo % i], mo - mo / i);
	invs[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) invs[i] = mul(invs[i - 1], inv[i]);
	
	scanf("%d", &n);
	for (int x = 1; x <= n + 1; x++) {
		f[x][1][1] = x; int invx = ksm(x, mo - 2);
		for (int i = 2; i <= n; i++)
			for (int j = 1; j < i; j++) {
				addin(f[x][i][1], mul(f[x][i - j][1], f[x][j][0]));
				addin(f[x][i][0], mul(f[x][i - j][0], add(f[x][j][0], f[x][j][1])));
				addin(f[x][i][0], mul(f[x][i - j][1], mul(f[x][j][1], invx)));
			}
		for (int i = 1; i <= n; i++) g[i][x] = add(f[x][i][0], f[x][i][1]);
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) la(i, g[i], ans[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= n; j++) {
			printf("%d ", ans[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	
	return 0;
}