【YBT2023寒假Day6 A】寄蒜挤河（计算几何）（线段树）

寄蒜挤河

题目链接：YBT2023寒假Day6 A

题目大意

有一些二维平面上的点，按顺序加入，每次加入一个点后，问你图上有多少个三元点对使得它们构成的三角形严格包含原点，就是原点不能在点上或边上。

思路

发现直接按着求很难搞，似乎只能做到 $n^2$ 之类的。
考虑转化一下，求不合法的方案数。

会发现其实不合法的条件是三个点跨越的极角不超过 $180^\circ$。
（以原点在直线上的时候是 $180^\circ$ 为最大）

考虑每次插入一个 $x$ 时候不合法方案的增加数。
考虑分别找到 $x$ 顺时针逆时针 $180^\circ$ 范围极角差最大的点 $y,z$。
那一个方法就是枚举 $y\sim x$ 里面的一个点 $u$，然后另两个（这三个其中一个包括 $x$）在 $u$ 逆时针 $180^\circ$ 选。

分类讨论一下，如果 $u\neq x$，那我们设 $f_x$ 为 $x$ 逆时针 $180^\circ$ 里面点的个数（不算 $x$ 自己），那就是选一个 $x$ 再选一个，就是 $f_u$。
如果 $u=x$，那就是在旁边再选两个，就是 $x$ 到 $z$ 之间点的个数（算 $z$ 不算 $x$）$d$ 的 $\binom{d}{2}$。

然后我们考虑维护 $f_x$，其实很简单，每次加入 $x$ 的时候把 $y\sim x$ 极角范围内不包括 $x$ 的点 $f$ 值加一即可。
不过要注意你打标记不一定要加上去，要离散点，、之前已经放进来的点你再加（或者用平衡树也行，因为好像说原本打算出的是强制在线）

代码

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

const ll N = 4e5 + 100;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-11;
struct dian {
	ll x, y, id; double k;
}a[N], b[N];
ll n, dy[N];
double bk[N];
ll ans[N];

bool cmp(dian x, dian y) {
	return x.k < y.k;
}
bool cmp1(double x, double y) {
	return y - x > eps;
}

double Abs(double x) {return x < 0 ? -x : x;}
ll Abs(ll x) {return x < 0 ? -x : x;}

struct XD_tree {
	ll f[N << 2], lzy[N << 2];
	ll wkn[N << 2];
	
	void up(ll now) {
		f[now] = f[now << 1] + f[now << 1 | 1];
		wkn[now] = wkn[now << 1] + wkn[now << 1 | 1];
	}
	
	void downa(ll now, ll l, ll r, ll x) {
		lzy[now] += x;
		f[now] += x * wkn[now];
	}
	
	void down(ll now, ll l, ll mid, ll r) {
		if (lzy[now]) {
			downa(now << 1, l, mid, lzy[now]); downa(now << 1 | 1, mid + 1, r, lzy[now]);
			lzy[now] = 0;
		}
	}
	
	void mark(ll now, ll l, ll r, ll pl, ll x) {
		if (l == r) {
			wkn[now] = 1; f[now] = x;
			return ;
		}
		ll mid = (l + r) >> 1; down(now, l, mid, r);
		if (pl <= mid) mark(now << 1, l, mid, pl, x);
			else mark(now << 1 | 1, mid + 1, r, pl, x);
		up(now);
	}
	
	void update(ll now, ll l, ll r, ll L, ll R, ll x) {
		if (L > R) return ;
		if (L <= l && r <= R) {
			downa(now, l, r, x); return ;
		}
		ll mid = (l + r) >> 1; down(now, l, mid, r);
		if (L <= mid) update(now << 1, l, mid, L, R, x);
		if (mid < R) update(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, x);
		up(now);
	}
	
	ll query(ll now, ll l, ll r, ll L, ll R) {
		if (L > R) return 0ll;
		if (L <= l && r <= R) return f[now];
		ll mid = (l + r) >> 1; down(now, l, mid, r); ll re = 0;
		if (L <= mid) re += query(now << 1, l, mid, L, R);
		if (mid < R) re += query(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
		return re;
	}
	
	ll queryn(ll now, ll l, ll r, ll L, ll R) {
		if (L > R) return 0;
		if (L <= l && r <= R) return wkn[now];
		ll mid = (l + r) >> 1; down(now, l, mid, r); ll re = 0;
		if (L <= mid) re += queryn(now << 1, l, mid, L, R);
		if (mid < R) re += queryn(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
		return re;
	}
}T;

int main() {
	freopen("geometry.in", "r", stdin);
	freopen("geometry.out", "w", stdout); 
	
	scanf("%lld", &n);
	for (ll i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld %lld", &a[i].x, &a[i].y); a[i].k = atan2(a[i].y, a[i].x); a[i].id = i; b[i] = a[i];
	}
	sort(b + 1, b + n + 1, cmp);
	for (ll i = 1; i <= n; i++) bk[i] = b[i].k;
	for (ll i = 1; i <= n; i++) dy[b[i].id] = i;
	
	ll ans = 0;
	for (ll i = 1; i <= n; i++) {
		ll now = dy[i];
		double k2 = a[i].k - pi; if (k2 <= -pi) k2 += 2 * pi;
		ll x = lower_bound(bk + 1, bk + n + 1, k2, cmp1) - bk;
		ll l = x, r = now - 1; if (l == n + 1) l = 1; if (r == 0) r = n;
		if (now != x) {
			if (l <= r) ans += T.query(1, 1, n, l, r), T.update(1, 1, n, l, r, 1);
				else ans += T.query(1, 1, n, l, n) + T.query(1, 1, n, 1, r), T.update(1, 1, n, l, n, 1), T.update(1, 1, n, 1, r, 1);
		}
		
		k2 = a[i].k + pi; if (k2 >= pi) k2 -= 2 * pi;
		x = upper_bound(bk + 1, bk + n + 1, k2, cmp1) - bk - 1;
		l = now + 1, r = x; if (l == n + 1) l = 1; if (r == 0) r = n; ll num = 0;
		if (now != x) {
			if (l <= r) num = T.queryn(1, 1, n, l, r);
				else num = T.queryn(1, 1, n, l, n) + T.queryn(1, 1, n, 1, r);
		}
		ans += 1ll * num * (num - 1) / 2;
		T.mark(1, 1, n, now, num);
		printf("%lld\n", 1ll * i * (i - 1) * (i - 2) / 6 - ans);
	}
	
	return 0;
} 

__EOF__

本文作者：あおいSakura
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