【YBT2023寒假Day4 A】网格染色（DP）（矩阵乘法）（DFT）

网格染色

题目链接：YBT2023寒假Day4 A

题目大意

有一个 n*3 的网格，你可以选恰好 m 个格子染成黑色。
然后对于一个黑点，我们对它周围的 $8$ 个点中的一些有限制不能是黑点，用一个矩阵给出。
问你有多少满足条件限制的条件。

思路

首先看到我们可以一行一行的 DP，每一行只跟前面的一行有关。
（预处理出限制，因为一行长度只有 $3$，可以直接预处理出 $8$ 个状态后面是否可以放那 $8$ 个状态）

然后如果要用什么矩阵乘法的转移，会发现一个问题是你只能保留 $n$ 这个，却无法维护 $m$。
考虑 $m$ 那一维是啥，发现是卷积。
于是你考虑把每一个状态它对应要乘的式子先都 DFT 了，然后对于式子的每一位都做一次矩阵乘法。
然后把得到的式子再 IDFT 回去，就是答案的式子了。

不过要注意的是因为你要全部 DFT 的结果乘起来，所以你的 $limit$ 是不能变的。
那你就用 $3*n$ 来求 $limit$ 即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mo 998244353


using namespace std;

const int N = 1e5 + 100;
const int pN = N * 8;
int n, m, a[10][10], b[10][10], cnt[10], p[10][pN], f[10][pN];
int an[pN], G, Gv;

inline int add(int x, int y) {return x + y >= mo ? x + y - mo : x + y;}
inline int dec(int x, int y) {return x < y ? x - y + mo : x - y;}
inline int mul(int x, int y) {return 1ll * x * y % mo;}

int ksm(int x, int y) {
	int re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = mul(re, x);
		x = mul(x, x); y >>= 1; 
	}
	return re;
}

struct matrix {
	int n, m, a[8][8];
	
	matrix() {
		n = 0; m = 0;
		for (int i = 0; i < 8; i++)
			for (int j = 0; j < 8; j++)
				a[i][j] = 0;
	}
}T;

matrix operator *(matrix x, matrix y) {
	matrix z; z.n = x.n; z.m = y.m;
	for (int i = 0; i < z.n; i++)
		for (int j = 0; j < z.m; j++)
			for (int k = 0; k < x.m; k++)
				z.a[i][j] = add(z.a[i][j], mul(x.a[i][k], y.a[k][j]));
	return z;
}

matrix jzksm(matrix x, int y) {
	matrix re; re.n = re.m = 8;
	for (int i = 0; i < 8; i++) re.a[i][i] = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x;
		x = x * x; y >>= 1;
	}
	return re;
}

void get_an(int limit, int l_size) {
	for (int i = 0; i < limit; i++)
		an[i] = (an[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l_size - 1));
}

void NTT(int *f, int op, int limit) {
	for (int i = 0; i < limit; i++)
		if (an[i] < i) swap(f[i], f[an[i]]);
	for (int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {
		int Wn = ksm((op == 1) ? G : Gv, (mo - 1) / (mid << 1));
		for (int R = (mid << 1), j = 0; j < limit; j += R) {
			for (int w = 1, k = 0; k < mid; k++, w = mul(w, Wn)) {
				int x = f[j | k], y = mul(w, f[j | mid | k]);
				f[j | k] = add(x, y); f[j | mid | k] = dec(x, y);
			}
		}
	}
	if (op == -1) {
		int limv = ksm(limit, mo - 2);
		for (int i = 0; i < limit; i++) f[i] = mul(f[i], limv);
	}
}

int main() {
	freopen("final.in", "r", stdin);
	freopen("final.out", "w", stdout);
	
	scanf("%d %d", &n, &m); G = 3; Gv = ksm(G, mo - 2);
	for (int i = 1; i <= 3; i++)
		for (int j = 1; j <= 3; j++)
			scanf("%d", &a[j][i]);//麻了 n*m 和长乘宽又反了/lh 
	for (int i = 1; i <= 3; i++)
		for (int j = 1; j <= 3; j++)
			a[i][j] |= a[4 - i][4 - j];
	
	for (int i = 0; i < 8; i++) {
		int a1 = (i & 1), a2 = ((i >> 1) & 1), a3 = ((i >> 2) & 1);
		if (a[1][2] && ((a1 & a2) || (a2 & a3))) continue;
		for (int j = 0; j < 8; j++) {
			int b1 = (j & 1), b2 = ((j >> 1) & 1), b3 = ((j >> 2) & 1);
			if (a[1][2] && ((b1 & b2) || (b2 & b3))) continue;
			bool yes = 1;
			if (a1 && ((a[2][3] && b1) || (a[3][3] && b2))) yes = 0;
			if (a2 && ((a[1][3] && b1) || (a[2][3] && b2) || (a[3][3] && b3))) yes = 0;
			if (a3 && ((a[1][3] && b2) || (a[2][3] && b3))) yes = 0;
			if (yes) b[i][j] = 1;
		}
		cnt[i] = a1 + a2 + a3;
	}
	for (int i = 0; i < 8; i++)
		if (!b[0][i]) for (int j = 0; j < 8; j++) b[i][j] = 0;
	
	int limit = 1, l_size = 0; while (limit <= 3 * n) limit <<= 1, l_size++;
	get_an(limit, l_size); 
	for (int i = 0; i < 8; i++)
		if (b[0][i]) {
			p[i][cnt[i]] = 1;
			NTT(p[i], 1, limit);
		}
	
	T.n = T.m = 8;
	for (int t = 0; t < limit; t++) {
		memset(T.a, 0, sizeof(T.a));
		for (int i = 0; i < 8; i++)
			for (int j = 0; j < 8; j++)
				if (b[i][j]) T.a[i][j] = p[j][t];
		T = jzksm(T, n);
		for (int i = 0; i < 8; i++) f[i][t] = T.a[0][i];
	}
	for (int i = 0; i < 8; i++) NTT(f[i], -1, limit);
	int ans = 0; for (int i = 0; i < 8; i++) ans = add(ans, f[i][m]);
	printf("%d", ans);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBT2023Day4_A.html
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