【YBT2023寒假Day15 C】缺口一样（数论）（莫队）（根号分治）
缺口一样
题目链接：YBT2023寒假Day15 C
题目大意
给你一个序列，多次询问，每次问你一个区间这里面所有非空点集的最大公约数之积，对质数取模。
思路
首先质因子之间是独立的，考虑对于每个质数分别计算再乘起来。
那对于一个质数，如果区间 \([l,r]\) 有恰好 \(c_i\) 个是 \(p^i\) 的倍数，那 \(p\) 贡献的次数就相当于对于每个 \(i\)，选 \([l,r]\) 一个子集使得所有数 \(p\) 的次数最小值恰好是 \(i\) 的方案数乘倍数。
那要的是恰好，我们 \(c_i\) 是倍数，也就是至少 \(i\) 次，那答案就是：（因为是非空子集所以要减一）
\(\sum\limits_{i\geqslant 1}i(2^{c_i}-1-(2^{c_{i+1}}-1))\)
\(=\sum\limits_{i\geqslant 1}(2^{c_i}-1)\)
那这个 \(p\) 的贡献就是 \(p^{\sum\limits_{i\geqslant 1}(2^{c_i}-1)}\)，根据欧拉定理上面的指数可以对 \(mod-1\) 取模。
那一个区间的问题似乎解决了。
那多个区间要怎么多，那我们一是维护每个质数的 \(c_i\)，而是再维护对应给答案的贡献。
那维护数组这个不难想到莫队。
那每次就是枚举加入或删除那个数的因子 \(p\)，把 \(p\) 的贡献改了。
那因子个数 \(\log n\)，那复杂度就是 \(n\sqrt{n}\log n\)，过不了。
瓶颈显然在每次插入的时候复杂度是 \(O(\log n)\) 的。
考虑到一个事情是 \(\geqslant \sqrt{R}\)（\(R\) 是值域）的因子只会有一个，而且题目的值域是跟 \(n\) 同阶的。
考虑再来个根号分治，对于大因子我们直接像上面的方法暴力统计。
小的个数不超过 \(\sqrt{R}\)，可以直接预处理出每个前缀每个小质数 \(p\) 每个 \(k\) 这个前缀里有多少个数是 \(p^k\) 的倍数。就不需要用根号分治来做，也是 \(O(n\sqrt{n})\) 的。
那么题目最后就是 \(O(n\sqrt{n})\) 解决了。
代码
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 998244353
using namespace std;
const int N = 1e5 + 100;
const int K = 405;
int n, m, prime[N], a[N], sum[N][700];
int blo[N], bl[N], br[N], B, bg[N], np[N];
vector <pair <int, int> > id;
struct Quest {
int l, r, id;
}q[N];
ll inv[N], now, ans[N];
vector <ll> tim[N], invs[N];
void Init() {
inv[0] = inv[1] = 1; for (int i = 2; i < N; i++) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
for (int i = 2; i < N; i++) {
if (!np[i]) {
prime[++prime[0]] = i;
if (i <= K) {
int now = 1, cnt = 0;
while (now * i < N) now *= i, id.push_back(make_pair(now, i));
}
tim[prime[0]].push_back(i);
invs[prime[0]].push_back(inv[i]);
np[i] = prime[0];
}
else np[i] = 0;
for (int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] < N; j++) {
np[i * prime[j]] = 1; if (i % prime[j] == 0) break;
}
}
}
bool cmp(Quest x, Quest y) {
if (blo[x.l] != blo[y.l]) return blo[x.l] < blo[y.l];
return x.r < y.r;
}
void insert(int now) {
for (int i = 1; i <= prime[0] && prime[i] * prime[i] <= now; i++)
while (now % prime[i] == 0) {
ll tmp = tim[i][tim[i].size() - 1];
tim[i].push_back(tmp * tmp % mo);
tmp = invs[i][invs[i].size() - 1];
invs[i].push_back(tmp * tmp % mo);
now /= prime[i];
}
if (now > 1) {
ll tmp = tim[np[now]][tim[np[now]].size() - 1];
tim[np[now]].push_back(tmp * tmp % mo);
tmp = invs[np[now]][invs[np[now]].size() - 1];
invs[np[now]].push_back(tmp * tmp % mo);
}
}
int num[N];
void ins(int x) {
if (bg[x] == 1) return ;
now = now * tim[np[bg[x]]][num[np[bg[x]]]] % mo;
num[np[bg[x]]]++;
}
void dec(int x) {
if (bg[x] == 1) return ;
num[np[bg[x]]]--;
now = now * invs[np[bg[x]]][num[np[bg[x]]]] % mo;
}
int main() {
// freopen("C2.in", "r", stdin);
// freopen("write.txt", "w", stdout);
freopen("lhsx2023.in", "r", stdin);
freopen("lhsx2023.out", "w", stdout);
Init();
scanf("%d %d", &n, &m); B = sqrt(n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
blo[i] = (i - 1) / B + 1;
if (!bl[blo[i]]) bl[blo[i]] = i;
br[blo[i]] = i;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
int now = a[i];
for (int j = 1; j <= prime[0] && prime[j] <= K; j++)
while (now % prime[j] == 0) now /= prime[j];
bg[i] = now;
for (int j = 0; j < id.size(); j++)
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + (a[i] % id[j].first == 0);
insert(a[i]);
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d %d", &q[i].l, &q[i].r); q[i].id = i;
}
sort(q + 1, q + m + 1, cmp);
int l = 1, r = 0; now = 1;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
while (l > q[i].l) l--, ins(l);
while (r < q[i].r) r++, ins(r);
while (l < q[i].l) dec(l), l++;
while (r > q[i].r) dec(r), r--;
ans[q[i].id] = now;
for (int j = 0; j < id.size(); j++) {
int num = sum[r][j] - sum[l - 1][j];
(ans[q[i].id] *= tim[np[id[j].second]][num] * inv[id[j].second] % mo) %= mo;
}
}
for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%lld\n", ans[i]);
return 0;
}
