【YBT2023寒假Day15 B】堵命运枪（计算几何）（Pick定理）

堵命运枪

题目链接：YBT2023寒假Day15 B

题目大意

给你一个凸多边形，保证没有三点贡献，随机一个至少包含三个点的点集，问你这些点形成的新凸多边形中，严格在这个凸多边形中的点数的期望。

思路

首先我们考虑给你一个多边形要怎么算点数。
有个叫 Pick 定理的东西，简单格点多边形的面积等于边上的点数$/2+$内部点数$-1$。
那内部点数就是：多边形面积$+1-$边上的点数$/2$。

多边形的面积我们就直接用叉积除二那个求。
边上的点数也不难因为给你的点都在整点上，就直接是横纵坐标差的 $\gcd$ 就对了。

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接下来考虑子集。
首先不如算每个情况的答案和，再除以总数 $2^n-1-n-\binom{n}{2}$。
那我们考虑对于每条边统计贡献，因为你注意到每个边贡献的方式都只跟自己有关。

那考虑要怎样才能贡献，除了选它这两个点。
那就是至少还要选一个点，而且不能两侧都选。
那我们为了便于统计，我们只选左边的，那如果左侧 $a$ 个点，右侧 $b$ 个点（右侧包括这两个点）。
概率是 $(1-2^{-a})2^{-b}$。

那你每个贡献都乘上概率就是了。

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但是还有一个问题就是你枚举点对是 $O(n^2)$ 的。
不过注意到它这里有精度，而且你右侧点越多，概率越小，那我们到很小很小的时候，概率就忽略不计了，那我们只用枚举大概 $60$ 个旁边的点就差不多了。

代码

#include<cstdio>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 100;	
struct node {
	double x, y;
}a[N];
int n;
double two[N], sum, outsum, line;

node operator +(node x, node y) {return (node){x.x + y.x, x.y + y.y};}
node operator -(node x, node y) {return (node){x.x - y.x, x.y - y.y};}
double operator *(node x, node y) {return x.x * y.x + x.y * y.y;}
double operator ^(node x, node y) {return x.x * y.y - x.y * y.x;}
int abs(int x) {return x < 0 ? -x : x;}
int gcd(int x, int y) {
	if (!y) return x;
	return gcd(y, x % y);
}

double P(int a) {//右侧（包含端点） 
	return (two[a] - two[n]) / (1.0 - two[n] * (1.0 + 1.0 * n + 1.0 * n * (n - 1) / 2.0));
}

int main() {
	freopen("ak.in", "r", stdin);
	freopen("ak.out", "w", stdout);
	
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf %lf", &a[i].x, &a[i].y);
	
	two[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) two[i] = two[i - 1] / 2.0;
	for (int i = 2; i < n; i++) sum += ((a[i - 1] - a[0]) ^ (a[i] - a[0])) / 2.0;
	 
	for (int l = 0; l < n; l++) {
		double now = 0;
		for (int sz = 1; sz < n && sz <= 60; sz++) {
			int r = (l + sz) % n;
			now += ((a[(r - 1 + n) % n] - a[l]) ^ (a[r] - a[l])) / 2.0;//统计在新多边形外面的面积
			outsum += P(sz + 1) * now; line += P(sz + 1) * gcd(abs(a[l].x - a[r].x), abs(a[l].y - a[r].y)) / 2.0;
		}
	}
	
	printf("%.12lf", sum - outsum - line + 1.0);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBT2023Day15_B.html
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