【YBT2023寒假Day14 B】二进制数（数位DP）（数学）

二进制数

题目链接：YBT2023寒假Day14 B

题目大意

问你 [A,B] 之间有多少个整数，满足它二进制表示下（不要前导 0）子串 00,01,10,11 个数分别是 a,b,c,d。
其中 A,B<=2^{100000}，a+b+c+d<=100000

思路

首先转成求 $[1,x]$ 的答案。
然后考虑数位 DP，考虑当你发现可以任取了之后，有多少方案。

那么我们假设任取的时候，你还剩下 $a,b,c,d$ 个 $00,01,10,11$ 要选。
然后因为你要出现任取，那这一位一定上界是 $1$ 你选了 $0$ ，所以肯定是从 $0$ 开始。
然后你会发现，你在 $0$ 的时候只能选 $00,01$ ，分别会走到 $0,1$ ， $1$ 的时候只能走 $10,11$ ，分别会走到 $0,1$ ，有点类似矩阵的转移。（矩阵快速幂一下好像也行？）
还有一个方法是观察到最后答案会形如：
$0...01...10...0......$
这样的，那会发现 $00,11$ 都可以说是插入在 $010101...$ 之中的。
那根据 $b,c$ 的数量，我们可以确定这个 $01$ 交替串的长度以及最后的结尾。
然后 $01$ 之间可以放 $00$ ， $10$ 之间可以放 $11$ ，如果最后一个 $1$ 后面可以放 $11$ ，如果最后一个是 $0$ 后面可以放 $00$ 。
那就是这些位置里面可以放东西，那就是若干个东西放入若干个桶中，直接上插板法即可。

要注意如果一直不能任取最后得到的是 $x$ ，要单独判一次（别问我为啥单独讲，寄）

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 1000000007

using namespace std;

const int N = 4e5 + 100;
int A[N], B[N], a, b, c, d, an, bn;
ll jc[N], inv[N], invs[N];
char s[N];

ll C(int n, int m) {
	if (n < 0 || m < 0 || n < m) return 0;
	return jc[n] * invs[m] % mo * invs[n - m] % mo;
}

void dec1() {
	int now = 1;
	while (!A[now]) now++;
	A[now] = 0;
	for (int i = now - 1; i >= 1; i--) A[i] = 1;
	if (now == an) an--;
}

ll slove(int *F, int n) {
	if (a + b + c + d + 1 == 1) {
		if (n == 1) return F[1] + 1;
		return 2;
	}
	int aa = a, bb = b, cc = c, dd = d; ll ans = 0;
	for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
		if (c > b + 1 || b > c) continue;
		if (a + b + c + d + 1 != i) continue;
//		if (b == c) {
//			//d:b+1 Î»ÖÃ
//			//a:c Î»ÖÃ 
//		}
//		if (b + 1 == c) {
//			//d:b+1 Î»ÖÃ
//			//a:c Î»ÖÃ 
//		}
		(ans += C(b + 1 + d - 1, b + 1 - 1) * C(c + a - 1, c - 1) % mo) %= mo;
	}
	for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
		if (!F[i]) {
			if (F[i + 1]) cc--;
				else aa--;
			continue;
		}
		
		if (F[i + 1]) cc--;
			else aa--;
		if (aa + bb + cc + dd + 1 == i)	{
			if (cc == bb || cc + 1 == bb) {
				(ans += C(cc + 1 + aa - 1, cc + 1 - 1) * C(bb + dd - 1, bb - 1) % mo) %= mo;
			}
		}
		if (F[i + 1]) cc++;
			else aa++;
		
		if (F[i + 1]) dd--;
			else bb--;
	}
	if (!aa && !bb && !cc && !dd) (ans += 1) %= mo;//记得最后如果所有相等也要比较
	return ans;
}

int main() {
//	freopen("sjs.txt", "r", stdin);
//	freopen("my.txt", "w", stdout);
	freopen("binary.in", "r", stdin);
	freopen("binary.out", "w", stdout);
	
	jc[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;
	inv[0] = inv[1] = 1; for (int i = 2; i < N; i++) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	invs[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) invs[i] = invs[i - 1] * inv[i] % mo;
	 
	scanf("%s", s + 1); an = strlen(s + 1);
	for (int i = 1; i <= an; i++) A[i] = s[i] - '0'; reverse(A + 1, A + an + 1);
	scanf("%s", s + 1); bn = strlen(s + 1);
	for (int i = 1; i <= bn; i++) B[i] = s[i] - '0'; reverse(B + 1, B + bn + 1);
	scanf("%d %d %d %d", &a, &b, &c, &d);
	
	dec1();
	printf("%lld", (slove(B, bn) - slove(A, an) + mo) % mo);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBT2023Day14_B.html
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