【YBT2023寒假Day13 C】百里守约(Boruvka算法)(扫描线)(线段树)
百里守约
题目链接:YBT2023寒假Day13 C
题目大意
有一个 n*n 的矩阵,一开始里面都是 0,多次操作,每次把一个子矩阵里面的值都增加每次给出的 w。
然后全部操作完之后构造一个 n 个点的简单无向完全图,对于 i<j,有 i,j 之间的边边权是 Ai,j。
然后要你求这个图的最小生成树对于边权和。
思路
发现我们 Kruskal 算法和 Prim 算法对于这道题都不是很适配。
于是还有一个算法是 Boruvka 算法,流程大概是每次对于每个连通块,找到这个连通块和其他连通块中边权最小的点。
然后由于合并嘛,每次连通块数量减半,所以复杂度是 \(O(n\log n)\) 的。
那考虑怎么求每个连通块往外边权最小的边。
考虑扫描线,先把区间加拆成在 \(x_1\) 的时候给 \(y_1\sim y_2\) 加 \(w\),在 \(x_2+1\) 的时候给 \(y_1\sim y_2\) 加 \(-w\)。
然后对于查询,你要找的就是不在自己连通块里面,我们维护的区间中最小的值。
那这个显然可以每个值有自己所在的连通块,你就每个位置记录距离前二小的连通块以及它们的距离就行了。
那每次从头扫过去都是 \(O(n\log n)\),一共扫 \(\log n\) 次,所以是 \(O(n\log^2n)\) 的。
不过有一个要注意的点是因为给你的是无向图,边无向,所以你给一个矩阵 \([x_1,x_2]\times[y_1,y_2]\) 加值的同时还要给 \([y_1,y_2]\times[x_1,x_2]\) 加。
代码
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const ll N = 1e5 + 100;
struct node {
ll y, yy, w;
};
ll n, m, g[N], fa[N], disp[N];
vector <node> f[N];
ll ans, dis[N];
ll find(ll now) {
if (fa[now] == now) return now;
return fa[now] = find(fa[now]);
}
struct XD_tree {
ll minn[N << 2], minn2[N << 2], lzy[N << 2];
ll minx[N << 2], minx2[N << 2];
void up(ll now) {
minn2[now] = INF; minx2[now] = 0;
if (minn[now << 1] < minn[now << 1 | 1]) {
minn[now] = minn[now << 1];
minx[now] = minx[now << 1];
if (find(minx[now << 1]) != find(minx[now << 1 | 1])) minn2[now] = minn[now << 1 | 1], minx2[now] = minx[now << 1 | 1];
}
else {
minn[now] = minn[now << 1 | 1];
minx[now] = minx[now << 1 | 1];
if (find(minx[now << 1]) != find(minx[now << 1 | 1])) minn2[now] = minn[now << 1], minx2[now] = minx[now << 1];
}
if (find(minx[now]) != find(minx2[now << 1]) && minn2[now] > minn2[now << 1]) {
minn2[now] = minn2[now << 1]; minx2[now] = minx2[now << 1];
}
if (find(minx[now]) != find(minx2[now << 1 | 1]) && minn2[now] > minn2[now << 1 | 1]) {
minn2[now] = minn2[now << 1 | 1]; minx2[now] = minx2[now << 1 | 1];
}
}
void downa(ll now, ll x) {
lzy[now] += x; minn[now] += x; minn2[now] += x;
}
void down(ll now) {
if (lzy[now]) {
downa(now << 1, lzy[now]); downa(now << 1 | 1, lzy[now]);
lzy[now] = 0;
}
}
void build(ll now, ll l, ll r) {
lzy[now] = 0;
if (l == r) {
minn[now] = 0; minx[now] = l;
minn2[now] = INF; minx2[now] = 0;
return ;
}
ll mid = (l + r) >> 1;
build(now << 1, l, mid); build(now << 1 | 1, mid + 1, r);
up(now);
}
void update(ll now, ll l, ll r, ll L, ll R, ll x) {
if (L <= l && r <= R) {
downa(now, x); return ;
}
ll mid = (l + r) >> 1; down(now);
if (L <= mid) update(now << 1, l, mid, L, R, x);
if (mid < R) update(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, x);
up(now);
}
}T;
int main() {
freopen("rect.in", "r", stdin);
freopen("rect.out", "w", stdout);
// freopen("ex_rect3.in", "r", stdin);
scanf("%lld %lld", &n, &m);
for (ll i = 1; i <= m; i++) {
ll x, xx, y, yy, w; scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &xx, &y, &yy, &w);
f[x].push_back((node){y, yy, w}); f[xx + 1].push_back((node){y, yy, -w});
f[y].push_back((node){x, xx, w}); f[yy + 1].push_back((node){x, xx, -w});
}
for (ll i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
while (1) {
ll cnt = 0; for (ll i = 1; i <= n; i++) {if (fa[i] == i) cnt++; dis[i] = INF; disp[i] = 0;}
if (cnt == 1) break;
T.build(1, 1, n);
for (ll i = 1; i <= n; i++) {
for (ll j = 0; j < f[i].size(); j++) {
T.update(1, 1, n, f[i][j].y, f[i][j].yy, f[i][j].w);
}
if (find(i) == find(T.minx[1])) {
if (dis[find(i)] > T.minn2[1]) dis[find(i)] = T.minn2[1], disp[find(i)] = find(T.minx2[1]);
}
else {
if (dis[find(i)] > T.minn[1]) dis[find(i)] = T.minn[1], disp[find(i)] = find(T.minx[1]);
}
}
for (ll i = 1; i <= n; i++) {
if (i == fa[i] && disp[i] && find(i) != find(disp[i])) {
fa[find(i)] = find(disp[i]); ans += dis[i];
}
}
}
printf("%lld", ans);
return 0;
}