【YBT2022寒假Day9 A】最小划分（wqs二分）（斜率优化DP）

最小划分

题目链接：YBT2022寒假Day9 A

题目大意

给你一个序列，你要把它划分成 m 个连续的段，以最小化这个东西：
把每一段的数和表示为 w[i]，则要最小化每个 (w[i]+p)^2 的和。

思路

首先你发现这个 \(p\) 是没有关系的，你完全可以把它拆开来。
变成 \(p^2*m+2*s_{n}*p\)。
（\(s_i\) 是前缀和，下同）

首先我们考虑 DP：
\(f_{i,j}\) 为当前第 \(i\) 个数，划分成了 \(m\) 段落。
\(f_{i,j}=\min\limits_{k=0}^{i-1} f_{k,j-1}+(s_i-s_{k}+p)^2\)

然后我们考虑能不能斜率优化（看着就很斜率优化）。
显然这里我们可以做 \(m\) 次斜率优化来达到 \(O(nm)\) 的复杂度。
（所以下面就不写第二维了，反正都是从 \(j-1\) 转移到 \(j\)，比较的都是 \(j-1\) 的）
\(k_1\) 比 \(k_2\) 优：（\(k_1>k_2\)）
\(f_{k_1}+(s_i-s_{k_1})^2<f_{k_2}+(s_i-s_{k_2})^2\)
\(f_{k_1}+s_{k_1}^2-2s_is_{k_1}<f_{k_2}+s_{k_2}^2-2s_is_{k_2}\)
\(s_i(2s_{k_2}-2s_{k_1})<(f_{k_2}+s_{k_2}^2)-(f_{k_1}+s_{k_1}^2)\)
\(s_i>\dfrac{(f_{k_2}+s_{k_2}^2)-(f_{k_1}+s_{k_1}^2)}{2s_{k_2}-2s_{k_1}}\)

然后我们考虑如何优化掉 \(j\) 的那一维。
那这个时候就有一个神奇的东西叫做 wqs 二分。

就是我们考虑转移的时候加上一个费用 \(C\)，这个费用我们二分。
那这个费用是为了干什么呢，可以说是为了“平衡”，使得恰好选到 \(m\) 个段的时候最优。
然后最后我们再减去这个贡献即可，减去 \(C*m\)。

然后你会发现斜率优化 DP 的转移没有变。

代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#define ll long long

using namespace std;

ll n, m, p, a[100501], sta[100501];
ll f[100501], sz[100501];

ll Y(ll x) {
	return f[x] + a[x] * a[x];
}

ll X(ll x) {
	return 2 * a[x];
}

bool check(ll C) {
	f[0] = 0; sz[0] = 0;
	f[1] = a[1] * a[1] + C; sz[1] = 1;
	ll l = 1, r = 2;
	sta[1] = 0; sta[2] = 1;
	for (ll i = 2; i <= n; i++) {
		while (l < r && Y(sta[l]) - Y(sta[l + 1]) > a[i] * (X(sta[l]) - X(sta[l + 1])))
			l++;
		f[i] = f[sta[l]] + (a[i] - a[sta[l]]) * (a[i] - a[sta[l]]) + C;
		sz[i] = sz[sta[l]] + 1;
		while (l < r && (Y(i) - Y(sta[r])) * (X(sta[r]) - X(sta[r - 1])) < (Y(sta[r]) - Y(sta[r - 1])) * (X(i) - X(sta[r])))
			r--;
		sta[++r] = i;
	}
	return sz[n] <= m;
}

int main() {
//	freopen("divide.in", "r", stdin);
//	freopen("divide.out", "w", stdout);
	
	scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &p);
	for (ll i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]), a[i] = a[i - 1] + a[i];
	
	ll l = 0, r = 1e18, re = 0;
	while (l <= r) {
		ll mid = (l + r) >> 1;
		if (check(mid)) re = mid, r = mid - 1;
			else l = mid + 1;
	}
	
	check(re);
	printf("%lld", f[n] - re * m + m * p * p + 2 * a[n] * p);
	
	return 0;
}