【YBT2022寒假Day7 B】格子染色（博弈论）（分类讨论）（找规律打表）

格子染色

题目链接：YBT2022寒假Day7 B

题目大意

有一个长度为 n 的纸条，然后有 k 种颜色，一些位置一开始已经染色颜色，保证相邻颜色不相同。
两人轮流操作，选一个一个未染色的地方染色，保证不能出现相邻位置颜色相同，谁无法操作谁就输了。
然后问你先手是否必胜。

思路

考虑对于 $k$ 分类讨论。

首先如果 $k>2$，那答案十分显然，肯定无论怎么搞格子都会被填满（一个点旁边顶多两个点），所以答案的 SG 函数就是还没有没填的格子数 $\%2$ 的结果。

然后我们考虑把每个数分割出的位置分别处理，答案异或起来。

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然后先是稍微简单的 $k=2$，那这个我们要分情况讨论：
两边都没有数填，只有一边有数填了，两边都有数填了。

那有什么放的方法呢？
要么是放在最边边，要么是放在中间。

然后我们再看这三种情况：
两边都有数：我们可以推出 SG 函数在旁边两个相同时是 $1$，不同时是 $0$。
然后这里推一下，在长度为 $1$ 的时候显然，然后看两种放的方法：
放在最边边，那两边颜色是否相同改变，然后是换到下一个人，所以没问题。
放在中间，分割成两个部分：如果原来颜色一样，那分割之后要么两个一样，要么两个都不一样，以后起来都是 $0$。如果颜色不一样，那分割之后肯定是一个一样一个不一样，以后起来还是 $1$。
然后就证好了。

有一边有这个时候可以证 SG 值就是区间的长度 $S$。
我们考虑在每个位置 $i(1\leqslant i\leqslant S)$ 都试一下（我们假定左边没有数），那再分类：
如果填的颜色跟右边的一样，那就是 $(i-1)\oplus 0$，包含了 $0\sim S-1$。
如果不一样，那就是 $(i-1)\oplus1$，然后会有 $(i-1)\oplus1\leqslant i<S$。

所以全部求 $\text{mex}$ 的结果就是 $S$。

然后就是都没有限制：
考虑在位置 $i$ 放会变成两个一边的，就是 $(i-1)\oplus(n-i)$。
显然这个东西只有可能在 $n$ 是偶数的时候才会有 $0$ 的结果。
然后因为只有这一个大区间，所以我们不用判断 $n$ 是奇数的时候它是什么，直接判断就好了。

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然后是最神奇的 $k=1$。
考虑 DP，设 $f_i$ 为一个长度为 $i$ 的区间的 SG 函数。
然后也是两种选法，可以得出一个 $O(n^2)$ 的 DP：
$f_{i}=\text{mex}\{f_{i-2},f_{j}\oplus f_{i-3-j}(0\leqslant j\leqslant i-3)\}$

然后发现这个似乎不太能优化了，于是我们考虑打标。
然后就会发现从第 $52$ 项开始出现了一个周期为 $34$ 的循环。
然后就可以只求前 $85$ 位了。
（反正我是不是很懂这是怎么想到，怎么看出来的了）

代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>

using namespace std;

int n, k, a[200001];
int sg1[201];

int mex(vector <int> x) {
	sort(x.begin(), x.end());
	int re = 0;
	for (int i = 0; i < x.size(); i++) {
		int y = x[i];
		if (y > re) return re;
			else if (y == re) re++;
	}
	return re;
}

int main() {
//	freopen("color.in", "r", stdin);
//	freopen("color.out", "w", stdout);
	
	scanf("%d %d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	
	if (k > 2) {
		int num = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (!a[i]) num++;
		if (num & 1) printf("YES");
			else printf("NO");
	}
	
	if (k == 2) {
		bool all = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (a[i]) {
				all = 0; break;
			}
		if (all) {
			if (n & 1) printf("YES");
				else printf("NO");
			return 0;
		}
		
		int L = 1, ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (a[i]) {
				int R = i - 1;
				if (L > R) {L = i + 1; continue;}
				if (L == 1 || R == 1) ans ^= R - L + 1;
					else {
						if (a[L - 1] == a[R + 1]) ans ^= 1;
							else ans ^= 0;
					}
				
				L = i + 1;
			}
		int R = n;
		if (L <= R) {
			ans ^= R - L + 1;
		}
		
		if (ans) printf("YES");
			else printf("NO");
	}
	
	if (k == 1) {
		sg1[1] = 1;
		for (int i = 2; i <= 85; i++) {
			vector <int> tmp;
			tmp.push_back(sg1[i - 2]);
			for (int j = 0; j <= i - 3; j++)
				tmp.push_back(sg1[j] ^ sg1[i - 3 - j]);
			sg1[i] = mex(tmp);
		}
		
		int L = 1, ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (a[i]) {
				int R = i - 1;
				int sz = R - L + 1 - 2; if (L == 1 || R == n) sz++; if (L == 1 && R == n) sz++;
				if (sz <= 0) {L = i + 1; continue;}
				if (sz < 52) ans ^= sg1[sz];
					else ans ^= sg1[52 + ((sz - 52) % 34)];
				L = i + 1;
			}
		int R = n;
		int sz = R - L + 1 - 1; if (L == 1) sz++;
		if (sz > 0) {
			if (sz < 52) ans ^= sg1[sz];
				else ans ^= sg1[52 + ((sz - 52) % 34)];
		}
		
		if (ans) printf("YES");
			else printf("NO");
	}
	
	return 0;
}

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本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/YBT2022Day7_B.html
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