【YBT2022寒假Day7 B】格子染色（博弈论）（分类讨论）（找规律打表）
格子染色
题目链接：YBT2022寒假Day7 B
题目大意
有一个长度为 n 的纸条，然后有 k 种颜色，一些位置一开始已经染色颜色，保证相邻颜色不相同。
两人轮流操作，选一个一个未染色的地方染色，保证不能出现相邻位置颜色相同，谁无法操作谁就输了。
然后问你先手是否必胜。
思路
考虑对于 \(k\) 分类讨论。
首先如果 \(k>2\)，那答案十分显然，肯定无论怎么搞格子都会被填满（一个点旁边顶多两个点），所以答案的 SG 函数就是还没有没填的格子数 \(\%2\) 的结果。
然后我们考虑把每个数分割出的位置分别处理，答案异或起来。
然后先是稍微简单的 \(k=2\)，那这个我们要分情况讨论：
两边都没有数填，只有一边有数填了，两边都有数填了。
那有什么放的方法呢？
要么是放在最边边，要么是放在中间。
然后我们再看这三种情况：
两边都有数：我们可以推出 SG 函数在旁边两个相同时是 \(1\)，不同时是 \(0\)。
然后这里推一下，在长度为 \(1\) 的时候显然，然后看两种放的方法：
放在最边边，那两边颜色是否相同改变，然后是换到下一个人，所以没问题。
放在中间，分割成两个部分：如果原来颜色一样，那分割之后要么两个一样，要么两个都不一样，以后起来都是 \(0\)。如果颜色不一样，那分割之后肯定是一个一样一个不一样，以后起来还是 \(1\)。
然后就证好了。
有一边有这个时候可以证 SG 值就是区间的长度 \(S\)。
我们考虑在每个位置 \(i(1\leqslant i\leqslant S)\) 都试一下（我们假定左边没有数），那再分类：
如果填的颜色跟右边的一样，那就是 \((i-1)\oplus 0\)，包含了 \(0\sim S-1\)。
如果不一样，那就是 \((i-1)\oplus1\)，然后会有 \((i-1)\oplus1\leqslant i<S\)。
所以全部求 \(\text{mex}\) 的结果就是 \(S\)。
然后就是都没有限制：
考虑在位置 \(i\) 放会变成两个一边的，就是 \((i-1)\oplus(n-i)\)。
显然这个东西只有可能在 \(n\) 是偶数的时候才会有 \(0\) 的结果。
然后因为只有这一个大区间，所以我们不用判断 \(n\) 是奇数的时候它是什么，直接判断就好了。
然后是最神奇的 \(k=1\)。
考虑 DP，设 \(f_i\) 为一个长度为 \(i\) 的区间的 SG 函数。
然后也是两种选法，可以得出一个 \(O(n^2)\) 的 DP：
\(f_{i}=\text{mex}\{f_{i-2},f_{j}\oplus f_{i-3-j}(0\leqslant j\leqslant i-3)\}\)
然后发现这个似乎不太能优化了，于是我们考虑打标。
然后就会发现从第 \(52\) 项开始出现了一个周期为 \(34\) 的循环。
然后就可以只求前 \(85\) 位了。
（反正我是不是很懂这是怎么想到，怎么看出来的了）
代码
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n, k, a[200001];
int sg1[201];
int mex(vector <int> x) {
sort(x.begin(), x.end());
int re = 0;
for (int i = 0; i < x.size(); i++) {
int y = x[i];
if (y > re) return re;
else if (y == re) re++;
}
return re;
}
int main() {
// freopen("color.in", "r", stdin);
// freopen("color.out", "w", stdout);
scanf("%d %d", &n, &k);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
if (k > 2) {
int num = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!a[i]) num++;
if (num & 1) printf("YES");
else printf("NO");
}
if (k == 2) {
bool all = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (a[i]) {
all = 0; break;
}
if (all) {
if (n & 1) printf("YES");
else printf("NO");
return 0;
}
int L = 1, ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (a[i]) {
int R = i - 1;
if (L > R) {L = i + 1; continue;}
if (L == 1 || R == 1) ans ^= R - L + 1;
else {
if (a[L - 1] == a[R + 1]) ans ^= 1;
else ans ^= 0;
}
L = i + 1;
}
int R = n;
if (L <= R) {
ans ^= R - L + 1;
}
if (ans) printf("YES");
else printf("NO");
}
if (k == 1) {
sg1[1] = 1;
for (int i = 2; i <= 85; i++) {
vector <int> tmp;
tmp.push_back(sg1[i - 2]);
for (int j = 0; j <= i - 3; j++)
tmp.push_back(sg1[j] ^ sg1[i - 3 - j]);
sg1[i] = mex(tmp);
}
int L = 1, ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (a[i]) {
int R = i - 1;
int sz = R - L + 1 - 2; if (L == 1 || R == n) sz++; if (L == 1 && R == n) sz++;
if (sz <= 0) {L = i + 1; continue;}
if (sz < 52) ans ^= sg1[sz];
else ans ^= sg1[52 + ((sz - 52) % 34)];
L = i + 1;
}
int R = n;
int sz = R - L + 1 - 1; if (L == 1) sz++;
if (sz > 0) {
if (sz < 52) ans ^= sg1[sz];
else ans ^= sg1[52 + ((sz - 52) % 34)];
}
if (ans) printf("YES");
else printf("NO");
}
return 0;
}
