【YBT2022寒假Day6 A】【luogu CF891E】随机减法 / Lust（EGF）

随机减法 / Lust

题目链接：YBT2022寒假Day6 A / luogu CF891E

题目大意

给你一个数组，每次随机选一个数减一，然后贡献增加除了这个数以外所有数的乘积，然后问你操作 k 次之后期望的贡献和。

思路

它这个除了以外某个数以外的乘积很不好搞，我们考虑一定把它弄成跟全部乘积有关的。
然后你发现每次减一，那全部乘积就减少了除了这个数以外所有数的乘积。

那每次的贡献就是全部乘积的减小量，那总贡献就是全部乘积总共减少的量，也就是： \(\prod a_i-\prod(a_i-b_i)\)（\(b_i\) 是 \(k\) 次操作选了 \(a_i\) 多少次）
然后 \(b_i\) 是每个的次数，你还要放的顺序，所以要乘上 \(\dfrac{k!}{\prod b_i!}\)

然后因为是期望，所以要乘概率：\(\dfrac{1}{n^k}\)
所以我们要得到的就是：\(\prod a_i-\sum\limits_{b}\dfrac{1}{n^k}\dfrac{k!}{\prod b_i!}\prod(a_i-b_i)\)

然后把 \(b\) 的放在一起：\(\dfrac{k!}{n^k}\prod\dfrac{a_i-b_i}{b_i!}\)
你发现右边这个 \(\prod\) 里面的好像是个 EGF 的性质，考虑试试：

\(f(i)=\sum\limits_{j=0}\dfrac{a_i-j}{j!}x^j\)
\(f(i)=\sum\limits_{j=0}(\dfrac{a_i}{j!}x^j-\dfrac{x}{(j-1)!}x^{j-1})\)
\(f(i)=\sum\limits_{j=0}\dfrac{a_i-x}{j!}x^j=(a_i-x)e^x\)

然后你是要每一项乘起来：
\(F(x)=\prod\limits_{i=1}^nf(i)=e^{nx}\prod\limits_{i=1}^n(a_i-x)\)
\(F(x)=\sum\limits_{i=0}n^i\dfrac{x^i}{i!}\prod\limits_{i=1}^n(a_i-x)\)

那么可以看出 \(\prod\limits_{i=1}^n(a_i-x)\) 是一个多项式，而且暴力算的复杂度是 \(O(n^2)\)，是可以的。
那么假设我们得出来的结果是：\(\sum\limits c_ix^i\)
\(F(x)=\sum\limits_{i=0}n^i\dfrac{x^i}{i!}\sum\limits_{i=0}c_ix^i\)

那我们答案要的自然是第 \(k\) 项：
\([x^k]F(x)=\sum\limits_{i=0}^k n^{k-i}\dfrac{x^{k-i}}{(k-i)!}c_{i}x^{i}=\sum\limits_{i=0}^k\dfrac{n^{k-i}c_i}{(k-i)!}x^k\)

然后我们带回去：
\(E=\dfrac{k!}{n^k}*[x^k]F(x)\)
\(=\sum\limits_{i=0}^k\dfrac{k!}{n^k}\dfrac{n^{k-i}c_i}{(k-i)!}x^k\)
\(=\sum\limits_{i=0}^k\dfrac{k!c_i}{n^i(k-i)!}\)
\(=\sum\limits_{i=0}^k\dfrac{(k-i+1)(k-i+2)(...)(k)c_i}{n^i}\)
（不能直接算阶乘，所以要拆开来抵消，每次在原来基础上乘新的数）

然后最后 \(\prod a_i-E\) 即可。

代码

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 1000000007

using namespace std;

ll n, k, a[5001], sum, c[5001], cc[5001];

void get_C() {
	c[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			cc[j] = c[j - 1];
		for (int j = 0; j <= n; j++)
			c[j] = (c[j] * a[i] % mo - cc[j] + mo) % mo;
	}
}

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

int main() {
//	freopen("calculate.in", "r", stdin);
//	freopen("calculate.out", "w", stdout);
	
	scanf("%lld %lld", &n, &k); sum = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld", &a[i]); sum = sum * a[i] % mo;
	}
	
	get_C();
	
	ll xnfn = 0, tmp = 1, invn = ksm(n, mo - 2);
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		(xnfn += c[i] * tmp % mo) %= mo;
		(tmp *= invn * (k - i) % mo) %= mo;
	}
	printf("%lld", (sum - xnfn + mo) % mo);
	
	return 0;
}