【YBT2022寒假Day3 A】森林之和（prufer序列）（DP）

森林之和

题目链接：YBT2022寒假Day3 A

题目大意

求对于 n 个有编号点构成的森林，求每种森林每个点度数的平方和的和。

思路

我们看到有有关所有编号树，不难想到 prufer 序列和矩阵树。
那这里应该就是利用 prufer 序列来 DP 答案。

但它是森林，那我们考虑先求出构造一棵树的，然后再依次把树放在一起。
那根据 prufer 序列的性质我们可以知道构造一棵树大小为 \(x\) 的方案数 \(f_x=x^{x-2}\)。
那接着就是森林的（\(g_x\)），那我们要记得每次选新的数要固定 \(1\) 点在里面，这样就不会有出现重复的。
然后你考虑枚举每次放进去的树的大小：
\(g_x=\sum\limits_{i=1}^{x}g_{x-i}f_i\binom{x-1}{i-1}\)

然后就是计算贡献，你会发现其实每个点的期望贡献是一样的，那我们只需要求出一个，答案乘 \(n\) 就可以了。

那首先我们求一棵树中一个点的期望贡献 \(p_x\)，考虑枚举它的度数。（度数 \(0\) 没有贡献就省去了）
\(p_x=\sum\limits_{i=1}^{x-1}i^2\binom{x-2}{i-1}\)（这里也固定了 \(1\)）

那这样我们就可以求森林中一个点的期望贡献 \(w_x\) 了，也是类似计算个数的方法，枚举新加子树大小。（也要固定）
\(w_x=\sum\limits_{i=1}^{x}w_{x-i}p_i\binom{x-1}{i-1}\)

然后答案数组就是 \(w_x\) 了。

代码

#include<cstdio>
#define ll long long
#define rr register
#define C(x, y) C[x][y]

using namespace std;

int T, n;
ll mo, p[5001], w[5001], f[5001], g[5001];
ll C[5001][5001];

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

int main() {
//	freopen("forest.in", "r", stdin);
//	freopen("forest.out", "w", stdout);
	
	scanf("%d %lld", &T, &mo);
	
	C[0][0] = 1;
	for (rr int i = 1; i <= 5000; i++)
		for (rr int j = 0; j <= i; j++)
			C[i][j] = (C[i - 1][j] + (j ? C[i - 1][j - 1] : 0)) % mo;
	
	f[0] = f[1] = 1;
	for (rr int i = 2; i <= 5000; i++)
		f[i] = ksm(i, i - 2);
	g[0] = g[1] = 1;
	for (rr int i = 2; i <= 5000; i++) {
		ll tmp = ksm(i - 1, i - 1), ww = ksm(i - 1, mo - 2);
		for (rr int j = 1; j <= i; j++) {
			(g[i] += g[i - j] * f[j] % mo * C(i - 1, j - 1) % mo) %= mo;
			if (i == j) break;
			tmp = tmp * ww % mo;
			(p[i] += j * j % mo * C(i - 2, j - 1) % mo * tmp % mo) %= mo;
		}
		for (rr int j = 1; j <= i; j++)
			(w[i] += C(i - 1, j - 1) * p[j] % mo * g[i - j] % mo) %= mo;
	}
	
	while (T--) {
		scanf("%d", &n);
		printf("%lld\n", w[n] * n % mo);
	}
	
	return 0;
}