【YBT2022寒假Day2 A】期望旅行（Dij）（期望DP）

期望旅行

题目链接：YBT2022寒假Day2 A

题目大意

给你一个无向图，然后每个边有出现的概率，自环必定出现。
然后问你在最优策略下你从 \(1\) 点走到 \(n\) 点的期望步数。

思路

考虑每次要怎么转移。

会发现是这样的，我们可以按 \(E(x)\)（设为 \(x\) 走到 \(n\) 的概率）从小到大排序，依次有就选。
所以走不出去的概率就是 \(p_x=\prod(1-a_{x,p_i})\)，走出去到终点的概率是 \(s_x=\sum (E(p_i)+1)*a_{x,p_i}*\prod(1-a_{x,p_i})\)。
然后根据 \(E(x)=(E(x)+1)*p_x+s_x\)，我们可以化简得到：
\(E(x)=\dfrac{p_x+s_x}{1-p_x}\)

然后你考虑转移的顺序。

考虑用 DIj 的方法， 每次我们选一个没有确定的 \(E(x)\) 最小的更新答案。
那每次 \(s_x\) 加上 \((E(y)+1)*a_{x,y}*p_x\)，\(p_x\) 乘上 \((1-a_{x,y})\)。
然后更新 \(E(x)\) 即可。
最后 \(E(1)\) 即是答案。

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

int n;
double a[3001][3001], s[3001], p[3001], e[3001];
bool in[3001];

int main() {
//	freopen("trip.in", "r", stdin);
//	freopen("trip.out", "w", stdout); 
	
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		p[i] = 1;
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			scanf("%lf", &a[i][j]);
		}
	}
	
	in[n] = 1;
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		s[i] += (e[n] + 1) * a[i][n] * p[i], p[i] *= 1 - a[i][n];
		e[i] = (s[i] + p[i]) / (1 - p[i]);
	}
	for (int j = 2; j <= n; j++) {
		int now = -1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (in[i]) continue;
			if (now == -1 || e[i] < e[now]) now = i;
		}
		in[now] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (in[i]) continue; 
			s[i] += (e[now] + 1) * a[i][now] * p[i], p[i] *= 1 - a[i][now];
			e[i] = (s[i] + p[i]) / (1 - p[i]);
		}
	}
	
	printf("%lf", e[1]);
	
	return 0;
}