【UNR #6 D】小火车（折半搜索）（二分）
小火车
题目链接：UNR #6 D
题目大意
给你一个序列，你要构造一个只有 0,1,-1 的序列，使得两个序列每一项乘起来的和为 p 的倍数。
其中保证 p 小于 2^n，n 为序列长度。
思路
首先由一个 \(3^n\) 的暴搜。
考虑 \(p<2^n\)，那我们会发现如果你就看 \(0,+1\)，如果搜到两个结果，那我们就可以第一个结果减去第二个结果（那样就会有 \(0,1,-1\)），那就可以构造出方案。
那如果没有答案，那 \(2^n\) 个全部都要不一样的，但是只有 \(p\) 个位置，所以是一定有答案的。
然后考虑通过这个来搞，那问题就是如何找到重复的位置 \(p\)。
考虑 \(s(l,r)\) 为 \(2^n\) 中有多少个是在 \(l\sim r\) 之间。
然后因为 \(s(l,r)>r-l+1\)，所以 \(s(l,mid)>mid-l+1\) 和 \(s(mid+1,r)>r-mid\) 之间一定有一个成立，不然大的就不成立，那我们就可以通过这个二分出 \(p\) 的位置，然后就可以找到方案了。
然后考虑怎么求，直接 \(2^n\) 肯定不行，考虑到 \(n\) 是 \(40\)，于是可以折半搜索把两边的情况搜出来，然后双指针就可以找到结果了。（其实一个是走的指针，另一个维护的指针是一个区间）
（然后注意是模 \(p\)，所以你要看 \(l\sim r\) 和 \(l+p\sim r+p\) 的结果的和）
代码
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 41;
int n, B, ans[N];
ll p, a[N];
vector <pair<ll, int> > x, y;
ll get_num(ll l, ll r) {
ll re = 0; int jl = 0, jr = -1;
for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) {
while (jr < (int)y.size() - 1 && x[i].first + y[jr + 1].first <= r) jr++;
while (jl < y.size() && x[i].first + y[jl].first < l) jl++;
if (jl <= jr) re += jr - jl + 1;
}
for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) {
while (jr < (int)y.size() - 1 && x[i].first + y[jr + 1].first <= r + p) jr++;
while (jl < y.size() && x[i].first + y[jl].first < l + p) jl++;
if (jl <= jr) re += jr - jl + 1;
}
return re;
}
int main() {
scanf("%d %lld", &n, &p);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
B = n / 2;
for (int i = 0; i < 1 << B; i++) {
ll val = 0; for (int j = 1; j <= B; j++) if ((i >> (j - 1)) & 1) (val += a[j]) %= p;
x.push_back(make_pair(val, i));
}
sort(x.begin(), x.end());
for (int i = 0; i < 1 << (n - B); i++) {
ll val = 0; for (int j = 1; j <= (n - B); j++) if ((i >> (j - 1)) & 1) (val += a[B + j]) %= p;
y.push_back(make_pair(val, i));
}
sort(y.begin(), y.end());
ll L = 0, R = p - 1;
while (L < R) {
ll mid = (L + R) >> 1;
if (get_num(L, mid) > mid - L + 1) R = mid;
else L = mid + 1;
}
ll pl = L;
int yes = 0; int j = 0;
for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) {
while (j < y.size() - 1 && x[i].first + y[j].first < pl) j++;
if (x[i].first + y[j].first != pl) continue;
if (!yes) {
yes = 1;
for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]++;
for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]++;
}
else {
yes = 2;
for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]--;
for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]--;
break;
}
if (j < y.size() - 1 && y[j + 1].first == y[j].first) { j++;
if (!yes) {
yes = 1;
for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]++;
for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]++;
}
else {
yes = 2;
for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]--;
for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]--;
break;
}
}
}
if (yes != 2) {
for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) {
while (j < y.size() - 1 && x[i].first + y[j].first < pl + p) j++;
if (x[i].first + y[j].first != pl + p) continue;
if (!yes) {
yes = 1;
for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]++;
for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]++;
}
else {
for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]--;
for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]--;
break;
}
if (j < y.size() - 1 && y[j + 1].first == y[j].first) { j++;
if (!yes) {
yes = 1;
for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]++;
for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]++;
}
else {
for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]--;
for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]--;
break;
}
}
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", ans[i]);
return 0;
}
