【UNR #6 D】小火车（折半搜索）（二分）

小火车

题目链接：UNR #6 D

题目大意

给你一个序列，你要构造一个只有 0,1,-1 的序列，使得两个序列每一项乘起来的和为 p 的倍数。
其中保证 p 小于 2^n，n 为序列长度。

思路

首先由一个 $3^n$ 的暴搜。
考虑 $p<2^n$，那我们会发现如果你就看 $0,+1$，如果搜到两个结果，那我们就可以第一个结果减去第二个结果（那样就会有 $0,1,-1$），那就可以构造出方案。
那如果没有答案，那 $2^n$ 个全部都要不一样的，但是只有 $p$ 个位置，所以是一定有答案的。

然后考虑通过这个来搞，那问题就是如何找到重复的位置 $p$。
考虑 $s(l,r)$ 为 $2^n$ 中有多少个是在 $l\sim r$ 之间。
然后因为 $s(l,r)>r-l+1$，所以 $s(l,mid)>mid-l+1$ 和 $s(mid+1,r)>r-mid$ 之间一定有一个成立，不然大的就不成立，那我们就可以通过这个二分出 $p$ 的位置，然后就可以找到方案了。

然后考虑怎么求，直接 $2^n$ 肯定不行，考虑到 $n$ 是 $40$，于是可以折半搜索把两边的情况搜出来，然后双指针就可以找到结果了。（其实一个是走的指针，另一个维护的指针是一个区间）
（然后注意是模 $p$，所以你要看 $l\sim r$ 和 $l+p\sim r+p$ 的结果的和）

代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 41;
int n, B, ans[N];
ll p, a[N];
vector <pair<ll, int> > x, y;

ll get_num(ll l, ll r) {
	ll re = 0; int jl = 0, jr = -1;
	for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) {
		while (jr < (int)y.size() - 1 && x[i].first + y[jr + 1].first <= r) jr++;
		while (jl < y.size() && x[i].first + y[jl].first < l) jl++;
		if (jl <= jr) re += jr - jl + 1; 
	}
	for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) {
		while (jr < (int)y.size() - 1 && x[i].first + y[jr + 1].first <= r + p) jr++;
		while (jl < y.size() && x[i].first + y[jl].first < l + p) jl++;
		if (jl <= jr) re += jr - jl + 1; 
	}
	return re;
}

int main() {
	scanf("%d %lld", &n, &p);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
	
	B = n / 2;
	for (int i = 0; i < 1 << B; i++) {
		ll val = 0; for (int j = 1; j <= B; j++) if ((i >> (j - 1)) & 1) (val += a[j]) %= p;
		x.push_back(make_pair(val, i));
	}
	sort(x.begin(), x.end());
	for (int i = 0; i < 1 << (n - B); i++) {
		ll val = 0; for (int j = 1; j <= (n - B); j++) if ((i >> (j - 1)) & 1) (val += a[B + j]) %= p;
		y.push_back(make_pair(val, i));
	}
	sort(y.begin(), y.end());
	
	ll L = 0, R = p - 1;
	while (L < R) {
		ll mid = (L + R) >> 1;
		if (get_num(L, mid) > mid - L + 1) R = mid;
			else L = mid + 1;
	}
	ll pl = L;
	
	int yes = 0; int j = 0;
	for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) {
		while (j < y.size() - 1 && x[i].first + y[j].first < pl) j++;
		if (x[i].first + y[j].first != pl) continue;
		if (!yes) {
			yes = 1;
			for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]++;
			for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]++;
		}
		else {
			yes = 2;
			for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]--;
			for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]--;
			break;
		}
		if (j < y.size() - 1 && y[j + 1].first == y[j].first) { j++;
			if (!yes) {
				yes = 1;
				for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]++;
				for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]++;
			}
			else {
				yes = 2;
				for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]--;
				for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]--;
				break;
			}
		}
	}
	if (yes != 2) {
		for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) {
			while (j < y.size() - 1 && x[i].first + y[j].first < pl + p) j++;
			if (x[i].first + y[j].first != pl + p) continue;
			if (!yes) {
				yes = 1;
				for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]++;
				for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]++;
			}
			else {
				for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]--;
				for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]--;
				break;
			}
			if (j < y.size() - 1 && y[j + 1].first == y[j].first) { j++;
				if (!yes) {
					yes = 1;
					for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]++;
					for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]++;
				}
				else {
					for (int u = 1; u <= B; u++) if ((x[i].second >> (u - 1)) & 1) ans[u]--;
					for (int u = 1; u <= n - B; u++) if ((y[j].second >> (u - 1)) & 1) ans[B + u]--;
					break;
				}
			}
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", ans[i]);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/UNR_6_D.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！