【SSL 2401】天地一抹红（斜率优化 DP）

天地一抹红

题目链接：SSL 2401

题目大意

有一个 n*m 的网格，要从 (1,1) 走到 (n,m)。
然后你可以花费当前格的代价从 (i,j) 走到 (i+1,j)，或者走到 (i,k) 其中 k>j。
当你走到 (i,k) 的时候，你可以选择 (i,j)~(i,k-1) 中地方含有宝石价值的最大值，然后就会给你贡献这个最大值乘 (i,k) 位置的法阵强度。
然后要你最大化最后走到 (n,m) 的贡献，如果无法非负就输出 -1。

思路

那肯定是一行一行的走，那行之间的转移只有一种而且很简单。
就直接 $f_{i,j}=\max(f_{i,j},f_{i-1,j}-w_{i-1,j})$

然后考虑列的，那一个 $O(m^2)$ 每次的转移就是：
$f_{i,j}=\max(f_{i,j},\max\limits_{k=1}^{j-1}f_{i,k}-w_{i,k}+V_{i,k,j-1}a_{i,j})$
$V_{i,l,r}=\max\limits_{j=l}^rv_{i,j}$

那注意到特别的就是 $a_{i,j}\geqslant a_{i,j+1}$。
那按这么来说，考虑转移点，$f_{i,k}-w_{i,k}$ 越来越重要，$V_{i,k,j-1}$ 越来越不重要，那就其实有一个决策的单调性，可以用斜率优化 DP。
考虑改一下，固定 $v_{i,j}$，然后前面的 $f_{i,k}-w_{i,k}$ 是最大值，这个好处是可以直接顺着枚举过来的时候直接维护，因为维护的事 $\max\limits_{j=1}^k f_{i,j}-w_{i,j}$。
然后你队列维护单调递减的 $V$，然后这些地方作为转移点，然后斜率优化就行了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 105;
const int M = 20005;
int n, m, F, sta[M];
ll w[N][M], h[N][M], a[N][M], f[N][M], g[M];

int re; char c;
int read() {
	re = 0; c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		re = (re << 3) + (re << 1) + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return re;
}

double clac(int i, int x, int y) {
	return 1.0 * (g[y] - g[x]) / (h[i][x] - h[i][y]);
}

int main() {
	freopen("red.in", "r", stdin);
	freopen("red.out", "w", stdout);
	
	n = read(); m = read(); F = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++) w[i][j] = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++) h[i][j] = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++) a[i][j] = read();
	
	memset(f, -0x3f, sizeof(f)); f[0][1] = F;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		f[i][1] = f[i - 1][1] - w[i - 1][1]; g[1] = f[i][1] - w[i][1];
		int l = 1, r = 0; sta[++r] = 1;
		for (int j = 2; j <= m; j++) {
			while (l < r && clac(i, sta[l], sta[l + 1]) >= a[i][j]) l++;
			f[i][j] = max(f[i - 1][j] - w[i - 1][j], g[sta[l]] + h[i][sta[l]] * a[i][j]);
			g[j] = max(g[j - 1], f[i][j] - w[i][j]);
			while (l <= r && h[i][j] >= h[i][sta[r]]) r--;
			while (l < r && clac(i, sta[r - 1], j) >= clac(i, sta[r - 1], sta[r])) r--;
			sta[++r] = j;
		}
	}
	
	if (f[n][m] >= 0) printf("%lld", f[n][m]);
		else printf("-1");
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/SSL_2401.html
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