【SSL 1590】旅游（线段树优化DP）

旅游

题目链接：SSL 1590

题目大意

要从 x 号点依次按编号走到 y 号点，每次可以选择跳最多 z 个点，即从 i 到 i+z。
每到一个点都要支付 a 的费用，到一些给出的特定点有其对应的钱补贴。
然后问你从 x 走到 y 号点，最后一定要在 y 号点，所能获得的最大 补贴减费用 值。

思路

看到点的数量很多，而特殊点的数量不多，肯定是以特殊点为中转点。
那之间没有补贴肯定是越快越好，所以两个之间间隔 \(\left\lceil\dfrac{i-j}{z}\right\rceil\) 个 \(a\)。
然后也容易列出转移式：\(f_{i}=m_i+\max\limits_{j=0}^{i-1}f_j-a\left\lceil\frac{c_i-c_j}{z}\right\rceil\)

然后考虑优化，那就是要处理向上取整的那个式子。
发现如果拆开来，然后都当向下取整来看的话，那最多只会差一个 \(-a\)，思考之后会发现情况就是 \(c_i\% z>c_j\% z\)
然后你就按 \(\% z\) 的值作为下标放进一个值域线段树里面，再把跟 \(j\) 有关的值放进去比最大值，就能分别算出需要 \(-a\) 和不需要 \(-a\) 两种情况分别的最优值，然后把需要 \(-a\) 的减一下然后再比就好了。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f

using namespace std;

const ll N = 1e5 + 100;
ll x, y, z, a, n, rt;
ll f[N];

struct node {
	ll tot, ls[N << 5], rs[N << 5];
	ll maxn[N << 5];
	
	void insert(ll &now, ll l, ll r, ll pl, ll x) {
		if (!now) now = ++tot, maxn[now] = -INF;
		maxn[now] = max(maxn[now], x);
		if (l == r) return ;
		ll mid = (l + r) >> 1;
		if (pl <= mid) insert(ls[now], l, mid, pl, x);
			else insert(rs[now], mid + 1, r, pl, x);
	}
	
	ll query(ll now, ll l, ll r, ll L, ll R) {
		if (L > R) return -INF;
		if (!now) return -INF;
		if (L <= l && r <= R) return maxn[now];
		ll mid = (l + r) >> 1; ll re = -INF;
		if (L <= mid) re = max(re, query(ls[now], l, mid, L, R));
		if (mid < R) re = max(re, query(rs[now], mid + 1, r, L, R));
		return re; 
	}
}T;

int main() {
	scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &z, &a, &n);
	ll ya = 0;
	for (ll i = 1; i <= n; i++) {
		ll c, m;
		scanf("%lld %lld", &c, &m);
		if (c == x) {f[0] = m; i--; n--; T.insert(rt, 0, z - 1, x % z, f[0] + 1ll * a * (x / z)); continue;}
			else if (i == 1) T.insert(rt, 0, z - 1, x % z, f[0] + 1ll * a * (x / z));
		if (c == y) {
			ya = m; n--; break;
		}
		
		f[i] = max(T.query(rt, 0, z - 1, 0, c % z - 1) - a, T.query(rt, 0, z - 1, c % z, z - 1));
		f[i] += m - 1ll * a * (c / z);
		
		T.insert(rt, 0, z - 1, c % z, f[i] + 1ll * a * (c / z));
	}
	ll c = y, m = ya;
	f[n + 1] = max(T.query(rt, 0, z - 1, 0, c % z - 1) - a, T.query(rt, 0, z - 1, c % z, z - 1));
	f[n + 1] += m - 1ll * a * (c / z);
	printf("%lld", f[n + 1]);
	
	return 0;
}