【ARC136E】Non-coprime DAG（分类讨论）

Non-coprime DAG

题目链接：ARC136E

题目大意

有一个 n 个点的有向图，i 有连向 j 的边当且仅当 i<j 而且 gcd(i,j)>1。
然后给你每个点的点权，你要选一些点，使得任意两个点之间再原路都没有一个点能到另一个点，要你最大化选的点权和。

思路

考虑如何看两个点之间有没有路径。

考虑用 $2$ 进行中转，毕竟是最小的质数。
所以对是否被 $2$ 整除分类讨论：（假设看 $x$ 是否能到 $y$ ， $x<y$ ）

设 $f(x)$ 是 $x$ 的最小质数。
$2|x,2|y$ ：都有 $2$ 公因子，直接连边。
$2\nmid x,2|y$ ：考虑把 $x$ 变成二的倍数，那用它最小的质数变，其实就是加上它，所以是 $x\rightarrow x+f(x)\rightarrow y$
那条件就是 $x+f(x)\leqslant y$
$2|x,2\nmid y$ ：相同的想法，先变到 $y$ 小一点的二倍数，再变到 $y$ ， $x\rightarrow y-f(y)\rightarrow y$
那条件就是 $x\leqslant y-f(y)$
$2\nmid x,2\nmid y$ ：一个直观的想法是 $x+f(x)\leqslant y-f(y)$ ，考虑证明。

充分性是有的，我们看看必要性，即看看会不会存在不满足这个条件但是连边的情况。
那不满足条件就是 $y-f(y)\leqslant x+f(x)$ ，那从 $x<y$ 就可以列出：
$x\leqslant y-f(y)\leqslant x+f(x)\leqslant y$
（两边的两个小于等于其实是显然的，就从第二第三种情况可以得到）

那 $x+f(x)$ 一定到不了 $y$ ，所以只能是 $x$ 直接到 $y$ ，设公共部分是 $d$ ，表示成 $x=ad,y=bd$ 。
而且因为 $2\nmid x,2\nmid y$ ，会有 $2\nmid a,2\nmid b$ ，然后 $x=ad<(a+1)d<bd=y$ ，啊就矛盾了（就算 $b=a+2$ 也满足上面那个）

所以是对的，那考虑讨论完有什么用。
发现不满足的条件是一个一边闭合一遍开的区间。
但这只是对于它是小的那个或者大的那个。
那如果对于所有的情况，它就是一个闭区间！

观察一下不难看出，对于偶数，就是 $[x,x]$ ，对于奇数，就是 $[x-f(x)+1,x+f(x)-1]$

所以你就是区间求交就代表不能到达。
然后你就区间求交求贡献，差分一下贡献单个加再前缀和加过去就可以。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 1e6 + 100;
int n, a[N], prime[N], np[N];
ll f[N];

int main() {
	for (int i = 2; i < N; i++) {
		if (!np[i]) np[i] = i, prime[++prime[0]] = i;
		for (int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] < N; j++) {
			np[i * prime[j]] = prime[j]; if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
	
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	f[1] += a[1];
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (i & 1) f[i - np[i] + 1] += a[i], f[i + np[i]] -= a[i];
			else f[i] += a[i], f[i + 1] -= a[i];
	}
	
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		f[i] += f[i - 1], ans = max(ans, f[i]);
	printf("%lld", ans);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/ARC136E.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！