【2022 省选训练赛 Contest 17 B】染色（分治）（欧拉回路）

染色

题目链接：2022 省选训练赛 Contest 17 B

题目大意

给你一个 \(n\) 个点 \(m\) 个边，保证图是二分图。
我们要找一个最大的 \(k\)，使得我们可以用 \(2^k\) 个颜色把边染色，使得每个点连着的边的颜色包括所有的颜色，而且连出每个颜色的边的数量相同。
要你找到这个 \(k\) 并构造方案。
（如果 \(k\) 不是正整数就输出 \(-1\)）

思路

首先不难想到 \(k\) 怎么求：直接记录每个点的入读，然后找到最大的 \(k\) 使得 \(2^k\) 可以整除每个点的度数。

接着就是构造方案。
首先有一个很暴力的方法就是每个颜色网络流一次，但显然超时。
然后你看到一个特别的点就是 \(2^k\)。

那我们考虑能不能每次把边分成两部分，你会发现其实是可以的。
那接着问题就是如何分成两部分。

考虑一个神奇的方法，就是我们看到既然它能分，那它每个点的度数都是偶数。
会想到一个东西叫做欧拉回路。
那我们考虑求出欧拉回路，然后考虑怎么分。
再看到二分图，我们会发现到它就是左右左右走，考虑奇偶染色，你会发现这样就可以了！

然后搞就可以了，分治下去。
然后根据主定理我们会发现复杂度是 \(O(m\log m)\)。

然后实现的时候我们不要围绕着 \(n\) 的复杂度来实现，要根据 \(m\) 的，不然复杂度会假。

代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 100;
int n, m, cnt, num1, num2;
int du[N], ans[N];
struct node {
	int id, x, y;
}S[N], S1[N], S2[N];
vector <int> P[N];
struct line {
	node x;
	int nxt;
}e[N << 1];
int le[N], KK;

int re; char c;
int read() {
	re = 0; c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		re = (re << 3) + (re << 1) + c - '0'; 
		c = getchar();
	}
	return re;
}

void write(int x) {
	if (x > 9) write(x / 10); putchar(x % 10 + '0');
}

void add(int x, node y) {
	e[++KK] = (line){y, le[x]}; le[x] = KK;
}

int col[N];
void Col(int now) {
	for (int i = 0; i < P[now].size(); i++) {
		int x = P[now][i]; if (col[x]) continue;
		col[x] = col[now] * -1; Col(x);
	}
}

bool in[N];
int tot = 0;

void Oooooooooooooooooooooooooooula(int now) {
	for (int &i = le[now]; i; i = e[i].nxt) {
		node x = e[i].x; if (in[x.id]) continue;
		in[x.id] = 1;
		if (col[now] == 1) S1[++num1] = x;
			else S2[++num2] = x;
		Oooooooooooooooooooooooooooula((x.x == now) ? x.y : x.x);
	}
}

void Run(int k, int l, int r) {
	if (!k) {
		cnt++;
		for (int i = l; i <= r; i++) ans[S[i].id] = cnt;
		return ;
	}
	for (int i = l; i <= r; i++) le[S[i].x] = le[S[i].y] = 0; KK = 0;
	for (int i = l; i <= r; i++) add(S[i].x, S[i]), add(S[i].y, S[i]);
	num1 = num2 = 0;
	for (int i = l; i <= r; i++) {
		Oooooooooooooooooooooooooooula(S[i].x);
		Oooooooooooooooooooooooooooula(S[i].y);
	}
	for (int i = l; i <= r; i++) in[S[i].id] = 0;
	int mid = (l + r) >> 1;
	for (int i = l; i <= mid; i++) S[i] = S1[i - l + 1];
	for (int i = mid + 1; i <= r; i++) S[i] = S2[i - mid];
	Run(k - 1, l, mid); Run(k - 1, mid + 1, r);
}

void Work() {
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if ((du[i] & 1) || !du[i]) {
			putchar('-'); putchar('1'); putchar('\n'); return ;
		}
	int k = 2e9;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int now = 0, xx = du[i];
		while (xx % 2 == 0) now++, xx >>= 1;
		k = min(k, now);
	}
	write(k); putchar('\n');
	
	Run(k, 1, m);
	
	for (int i = 1; i <= m; i++) write(ans[i]), putchar(' ');
	putchar('\n');
}

int main() {
//	freopen("read.txt", "r", stdin);
//	freopen("write.txt", "w", stdout);
	
	n = read(); m = read();
	while (n || m) {
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			int x = read(), y = read();
			du[x]++; du[y]++; S[i] = (node){i, x, y};
			P[x].push_back(y); P[y].push_back(x);
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (!col[i]) col[i] = 1, Col(i);
		
		Work();
		
		for (int i = 1; i <= n; i++) du[i] = 0, P[i].clear(), col[i] = 0;
		cnt = 0;
		
		n = read(); m = read();
	}
	
	return 0;
}