【2022 省选训练赛 Contest 15 A】set（数学）（组合数）（二项式定理）

set

题目链接：2022 省选训练赛 Contest 15 A

题目大意

有 1~n 共 n 个数，然后问你随机选 k 个，其中设其最小值为 x，求 T^x 的期望值。

思路

首先显然列出一个式子（枚举哪个数作为最小值）：
$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nT^i\binom{n-i}{k-1}}{\binom{n}{k}}$
然后下面先不管（反正可以 $O(k)$ 求，就拆开来然后带有 $n$ 的阶乘两个消），所以就考虑怎么求上面的。

先来看看代码的（猪鼻）推导。
$1.\sum\limits_{i=1}^nT^i\binom{n-i}{k-1}$
$2.\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=0}^i(T-1)^j\binom{i}{j}\binom{n-i}{k-1}$（二项式定理）
$3.\sum\limits_{j=0}^n(T-1)^j\sum\limits_{i=1}^n\binom{i}{j}\binom{n-i}{k-1}$（$i$ 可以不从 $i$ 开始因为前面的答案都是 $0$）
$4.\sum\limits_{j=0}^n(T-1)^j\sum\limits_{i=1}^n\binom{n+k}{j+k}$（你可以理解为两个部分中间用一个选了的隔开，前面的选 $j$ 个，后面的选 $k-1$ 个）
$5.T^{n+1}-\sum\limits_{j=0}^{k-1}\binom{n+1}{j}$（把 $T^{n+1}$ 二项式定理展开，然后容斥）
（$T^{n+1}=\sum\limits_{j=0}^{n+1}\binom{n+k}{j}(T-1)^j$）

首先发现一个显然的错误：
$5$ 中应该是 $T^{n+1}-\sum\limits_{j=0}^{k-1}\binom{n+1}{j}T^{j}$
然后你再看会发现其实它还有错，就是 $5$ 中应该整个式子除 $(T-1)^k$。
然后你按着写发现错了，然后你就检查式子。

然后你会发现 $4$ 有个小小的问题，就是你组合数的话 $i=0$ 的情况时要计算的，但是前面 $3$ 中 $i$ 是 $1\sim n$。
不过你会发现好像 $i=0$ 的时候后面的部分都是 $0$，但你很快会发现有一个特别的情况就是 $j=0$，这个时候后面的式子是 $\binom{j}{i}\binom{n-i}{k-1}=\binom{0}{0}\binom{n-0}{k-1}=\binom{n}{k-1}$。

所以你应该要减去一个 $\binom{n}{k-1}$，而且你要注意的是后面的部分，你都除了 $(T-1)^k$，而你这个是不能除的，所以如果你前面都除了你这个的减去就要乘 $(T-1)^k$。

然后就终于可以过了TAT

代码

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 998244353

using namespace std;

ll n, k, t, inv[10000001], all;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo; y >>= 1;
	}
	return re;
}

int main() {
	scanf("%lld %lld %lld", &n, &k, &t);
	
	if (t == 1) {//特判
		printf("1"); return 0;
	}
	
	inv[0] = inv[1] = 1; for (int i = 2; i <= k; i++) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	
	all = 1;
	for (int i = 1; i <= k; i++) all = all * (n - i + 1) % mo * inv[i] % mo;
	
	ll ans = ksm(t, n + 1), sum = 1;
	for (ll i = 0; i < k; i++) {
		ans = (ans - sum + mo) % mo;
		sum = sum * (n + 1 - (i + 1) + 1) % mo * inv[i + 1] % mo;
		sum = sum * (t - 1) % mo;
	}
	ll mor = 1;
	for (ll i = 1; i <= k - 1; i++) mor = mor * (n - i + 1) % mo * inv[i] % mo;
	ans = (ans - mor * ksm(t - 1, k) % mo + mo) % mo;
	ans = ans * ksm(ksm(t - 1, k), mo - 2) % mo;
	printf("%lld", ans * ksm(all, mo - 2) % mo);
	
	return 0;
}

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本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/16019616.html
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