【NOI2022省选挑战赛 Contest3 C】取石子（博弈论）（结论）

取石子

题目链接：NOI2022省选挑战赛 Contest3 C

题目大意

给你一个序列，两个人轮流操作每次可以拿走序列两头的其中一个数。
然后谁选的数的异或和大谁就赢。
然后每次问你先手必胜还是后手必胜还是平局。

思路

首先异或嘛，肯定是按位数从高到低看。
那不难想出如果对于一位它在偶数个数中出现，那要么大家都是 $0$，要么都是 $1$。

所以我们只需要看最高位的第一个所有数异或起来不是 $0$ 的位置，那如果全是 $0$ 就平手。
然后问题就变成了一个 $01$ 串（奇数个 $1$），每次可以取头尾，取到奇数个的获胜。

然后发现如果长度是偶数就先手必胜，因为你奇数位置和偶数位置 $1$ 的个数肯定是一奇一偶的，而且先手显然可以取最优的奇数位置或偶数位置，所以必胜。
接着看偶数长度，那先手第一步必须取 $1$，不然状态就变成了后手变先手，然后长度偶数，就是后手胜了。
那也因为这个条件，接下来每次先手必须取后手一样的数。

所以我们可以先枚举先手取的是头还是尾，看是否可能获胜。
然后可以这样看，先不断删去头尾相同的，然后接着序列就必须是 $00110011....$ 这样两两弄下去（也就是每两个位置必须一样，不一定要交错，可以 $11000011$）

然后你还发现这样除了先手多了一个 $1$，它们取的数量是 $\frac{cnt-1}{2}$（$cnt$ 是整个序列中 $1$ 的个数），因此我们这时候还需要保证这个值是一个偶数（这样先手加上一开始拿的才会有奇数个）。

然后就好了。

代码

#include<cstdio>

using namespace std;

int t, n, a[10001];

bool check(int l, int r) {
	while (l <= r && a[l] == a[r]) l++, r--;
	for (int i = l; i <= r; i += 2)
		if (a[i] != a[i + 1]) return 0;
	return 1;
}

int main() {
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		scanf("%d", &n);
		int va = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), va ^= a[i];
		if (!va) {
			printf("Draw\n"); continue;
		}
		for (int i = 30; i >= 0; i--) {
			if (!((va >> i) & 1)) continue;
			int cnt = 0;
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				a[j] = (a[j] >> i) & 1;
				if (a[j]) cnt++;
			}
			if (n & 1) {
				if (((cnt - 1) >> 1) & 1) printf("Bob\n");
					else if ((a[1] && check(2, n)) || (a[n] && check(1, n - 1))) printf("Alice\n");
						else printf("Bob\n");
			}
			else printf("Alice\n");
			break;
		}
	}
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/15950201.html
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