数学暑假作业讲评

数学作业11讲评#

18题#

（1）#

易得 $$f(x{)}^{\prime }=\frac{(x-a)(2x+a)}{x}$$

对 $a$ 的正负分类讨论即可

注意定义域

（2）#

$\because f(1)+f(1{)}^{\prime }=0$

$\therefore a=1$

$\therefore f(x)=x^2-x-\ln x$

$\therefore \mathrm{\forall }x\in (0,1),f(x)\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{减}$

$\mathrm{\forall }x\in (1,+\mathrm{\infty }),f(x)\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{增}$

$\therefore f(x{)}_{min}=f(1)=0$

$\therefore x^2-x\ge \ln x$

（3）#

容易想到用 $\ln$ 做到加法乘法计算之间的一个转化

要证

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbf{N}}^{\mathbf{\ast }},\sum _{i=1}^n\frac{i+1}{i^2}>\ln (n+1)$$

即证

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbf{N}}^{\mathbf{\ast }}\mathrm{且}n\ge 2,\frac{n+1}{n^2}>\ln \frac{n+1}{n}$$

由 $(2)$ 得

$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbf{N}}^{\mathbf{\ast }}\mathrm{且}n\ge 2,{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2-\frac{n+1}{n}>\ln \frac{n+1}{n}$$

证毕

20题#

（1）#

$$f(x{)}^{\prime }=e^x-a+1$$

观察 $f(x{)}^{\prime }$ 是否有零点

对 $1-a$ 的正负分类讨论即可

$$\mathrm{\forall }a\in (1,+\mathrm{\infty }),f(ln(a-1){)}^{\prime }=0$$

$$\therefore f(x{)}_{min}=(1-a)(1-\ln (a-1))-b$$

（2）#

重点在处理 $a-1$

观察 $f(x)$ 可得

$$\mathrm{\forall }{x}_1\ne x_2,\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{e^{x_1}-e^{x_2}}{x_1-x_2}-(a-1)$$

$$\begin{gathered} \because f(x_1)=f(x_2)=0 \\ \therefore \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=0 \\ \therefore \frac{e^{x_1}-e^{x_2}}{x_1-x_2}=a-1 \end{gathered}$$

题目要证即为

$$\frac{e^{x_1}-e^{x_2}}{x_1-x_2}>e^{\frac{x_1+x_2}{2}}$$

我们考虑将其化为与单一变量有关的形式

观察到有 $x_1-x_2$

化为 $$\frac{e^{x_1-x_2}-1}{x_1-x_2}>e^{\frac{x_1-x_2}{2}}$$

代换，设 $t=x_1-x_2$

不失一般性，设 $x_1>x_2$, 则 $t\in (0,+\mathrm{\infty })$

即证 $$\frac{e^t-1}{t}>e^{\frac{t}{2}}$$

考虑让指数凑对

即得 $$e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}>t$$

设 $f(x)=x-\frac{1}{x}-2\ln x$

即证 $$\mathrm{\forall }x\in (1,+\mathrm{\infty }),:f(x)>0$$

比较典，浅证一下

证明：
即得易见平凡，仿照上例显然
留作习题答案略，读者自证不难
反之亦然同理，推论自然成立
略去过程QED，由上可知证毕

22题#

第一问两个崩了的符号是都是 $\ge$

（1）#

易得：

$f(x{)}^{\prime }=\ln x+1-a$

$f(1)=0$

若 $\mathrm{\forall }x\in [1,+\mathrm{\infty }),f(x)\ge 0$

则 $\therefore f(1{)}^{\prime }\ge 0$

即 $a\in (-\mathrm{\infty },1]$

且 $\mathrm{\forall }x\in (1,+\mathrm{\infty }),f(x{)}^{\prime }>0$

综上，$a\in (-\mathrm{\infty },1]$

（2）#

上问下用

带入 $a=1$

得 $\mathrm{\forall }x\in (1,+\mathrm{\infty }),\ln x>\frac{x-1}{x}$

思路同18题（3）相同

即证 $$\mathrm{\forall }n\in {\mathbf{N}}^{\mathbf{\ast }}:\mathrm{且}:n\ge 2,:\frac{1}{n}<\ln \frac{n}{n-1}$$

同上式形式一样，证毕

(3)#

裸的极值点偏移

不失一般性，设 $x_1<x_2$

则 $x_1<1<x_2$

要证 $x_1{x}_2<1$

即证 $x_1<\frac{1}{x_2}$

$\because \mathrm{\forall }x\in (0,1),f(x)\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{减}$

$\therefore \mathrm{即}\mathrm{证}f(x_1)=f(x_2)>f\left(\frac{1}{x_2}\right)$

设 $g(x)=f(x)-f\left(\frac{1}{x}\right)=(x+\frac{1}{x})\ln x-x+\frac{1}{x}$

$g(x{)}^{\prime }=\ln x(1-\frac{1}{x^2})$

$\because \mathrm{\forall }x\in (1,+\mathrm{\infty }),g(x{)}^{\prime }>0\mathrm{且}g(1)=0$

$\therefore g(x_2)>0$

证毕

扩展#

调和级数#

任何广义调和级数均发散

即 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{1}{ai+b}=\mathrm{\infty }$

以调和级数为例

$H_{2n}-H_n=\sum _{i=n+1}^{2n}i>\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}$

其中 $H(n)$ 为调和级数前 $n$ 项和

对 $H(n)$ 有

$$H(n)=\ln n+\gamma +{ϵ}_n$$

其中 $\gamma$ 是 Euler-Mascheroni 常数，约为 0.57721566490153286060651209

而${ϵ}_n\approx \frac{1}{2n}$

平时可以拿来验算

更多#

无穷级数与申敛

高等数学总结

期望的线性性（我的）

期望线性性的深入探讨（超强的学弟写的）

数学分析的主线：连续函数与“有理”分析 (侧重思想)

不推荐的#

多项式与生成函数（滏阳数学巨佬写的）

概率生成函数 （本部数学巨佬写的）