省选联测37-40
省选联测40
后浪
总结：典中典之注意到只有一个段会有 \(0\) 也有 \(1\) 的贡献即可
脑力
不错的题，当时整个人状态非常玄妙，灵机一动就切了
考虑 trie 树上 dp 不好，但是子集 dp 确实能做，复杂度 \(\mathcal O(3^nm)\)
正解：正常人都能发现 trie 树上 dp 是违法行为,考虑 trie 树节点数可以用容斥表示出来，类比于文氏图，还是一加一减出来的
则对于每一个字符都固定的字符串来说，答案为 \(\sum_S(-1)^{|S|+1}lcp(S)+1\)，\(+1\) 是根节点
我们要求的是 \(E\left(\sum_S(-1)^{|S|+1}lcp(S)\right)\)，即 \(\sum_S(-1)^{|S|+1}E(lcp(S))+1\)
\(E(lcp(S))\) 就很简单的，设 \(p_i\) 表示 \(lcp(S)\) 大于等于 \(i\) 的概率，则答案为 \(\sum_{i=1}^mp_i\)，求 \(p_i\) 是显然的
总结：想到 trie 树上 dp 不切实际，能想到用容斥得到 trie 树上节点个数
道路
这题结论题，得到两个点编号后调整到同一深度，然后每个深度求一个答案即可，赛时状态玄妙结论错了
维护点的编号时发现我们只关注 \(01\) 连读段而不关心具体长度，所以修改都是 \(\mathcal O(1)\) 的
总结：发现维护编号只用维护连续段，关注要维护的东西性质，减少一个 \(\log\) 的复杂度
光学实验室
矩阵树定理，咕了
省选联测39
伯爵
咕了
给给的游戏
首先 \(n=2\) 直接特判掉
有点意思，竞赛图强连通等价于有哈密顿回路
当竞赛图不强连通时考虑缩点之后结果，一定是下面这个样子
其中每一条边代表着一个强连通分量的所有点对另一个强连通分量的所有点都有出边
只要翻转一条全是出边的连通分量和一个全是入边的联通分量之间的边就可以变成强连通图
还有一个性质，连通块 \(1\) 中所有点出度大于 \(2\) 大于 \(3\) 大于 \(4\)，显然
所以当我们按照度数排序后，相当于按照所在联通分量排序
所以下图得证，出度之和为 \(\begin{pmatrix}k\\2\end{pmatrix}\) 代表这 \(k\) 对外无边，则原图一定不强连通
所以对于强连通的图，只用考虑翻转哈密顿环上的边即可，再用上条性质 check
总结：用特解缩小范围（哈密顿环不被影响就一定仍强连通）
省选联测38
失落的世界
迷惑倒推
总结：6
谜域的界外
总结：典中典性质之可用点只有 \(\log2e16\) 个
然后判断到 \(2e16\) 就行，不要学某 gtm 炸 longlong
聚合的塔尖
又没想到的根号分治，预处理 \(\sqrt{n}\) 个距离其最远的点，归并即可，记得复杂度不要假掉，随后显然
总结：\(\sum\) 的东西真是根号分治的好朋友
沉眠的回声
Delov 的boke
总结：我知道我不知道我知道我不知道，但我不知道我不知道我知道，6
省选联测37
假人
\((max,+)\) 卷积看着像闵可夫斯基和，而可反悔贪心的思路可以看这篇boke
考虑把函数值分段使其拥有凸性，每个成员长度只有 \(0,1,2,3,4\)，所以在模 \(12\) 意义下函数具有凸性
原因：当存在一个 \(x\) 使所有能拼凑出 \(2x\) 的方案都可以被分成两个和为 \(x\) 的方案时，函数就在模 \(x\) 意义下具有凸性，\(12\) 在成员只有 \(0,1,2,3,4\) 时是满足的条件的最小 \(x\)
证明：若 \(f(x+k)-f(x)<f(x+2k)-f(x+k)\) 时，调换两个和为 \(x\) 的方案，则 \(f(x)\) 和 \(f(x+2k)\) 的值不变，\(f(x+k)\) 的值变大，所以不存在
然后分治并在 \(\mathcal O(12^2\times \frac{n}{12})\) 的复杂度内合并即可
总结：分段构造使其具有需要的性质
切题
二分图染色，然后直接粘 gtm 的boke，毕竟我直接贺的：
总结：二分图染色，6
