The World

闲，接着写没用的东西。

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有个东西叫停时定理，然而我没搞太懂咋用。
那天看到了 某题解，感觉很有意思。
于是今天来看看一些有特殊性质的停时问题怎么转化成公平博弈问题。

首先考虑一个最基础的模型。
你有一个骰子，有 \(n\) 个面且均匀，每次扔一下，记录下来点数。
问期望扔多少次之后所有的 \(n\) 种点数都出现过。

啥也不会，那就按着上面的方法原样构造。
每个时刻会来一个赌徒，来的时候拿着 \(1￥\)。
每个时刻每个赌徒都会把自己的全部积蓄下注，赌下一个出现的是之前没出现过的。
显然，如果没出现过的有 \(a\) 种，那么赌中的概率为 \(\frac{a}{n}\)。
所以为了公平起见，我们规定，如果赌中了那么会获得 \(\frac{n}{a}\) 倍的回报，没赌中直接倾家荡产。

显然，作为一个公平博弈游戏，所有赌徒合起来期望是不赔不赚的。
最后所有赌徒的期望财产等于赌徒的期望个数，也就是扔骰子的期望次数。
而所有的赌徒每个时刻的行动是一致的，比较好考虑。
考虑最后的时候赌徒会得到多少钱。

首先，如果倒数第二次赌徒们没有赌中，那么所有赌徒都会倾家荡产。
这种情况下参与最后一次赌博的就只有一个人了，容易统计。
接下来你发现，最后一次赌博投入进去的钱只和最后连续扔中几次有关系。
所以我们就去枚举这个东西。

枚举后 \(a\) 次扔出来的都是没出现过的，那么我们只需要保证上一次扔出来之后的下一次没扔出来。
以及，最后几次连着扔中。组合数简单统计一下就行了。
需要注意的是后几次的回报率是不同的。
前面的不重要，反正都没收财产了。
然后我们把所有情况加起来就行了。

我没推式子，现在复杂度是 \(O(n)\) 的。
说不定用一些玄学的方法可以做到更优秀。

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虽然这个题解很有意思，但是确实拓展性不强。
今日份的临时充数。