期望的线性性

首先\(\%Soytony\) 老师和 \(APJifengc\) 老师

\[\begin{aligned} E(X+Y)&=\sum_{x}\sum_{y} (x+y)P(X=x,Y=y)\\ &=\sum_{x}\sum_{y} xP(X=x,Y=y)+\sum_{x}\sum_{y} yP(X=x,Y=y)\\ &=\sum_{x} x\sum_{y} P(X=x,Y=y)+\sum_{y} y\sum_{x} P(X=x,Y=y)\\ &=\sum_{x} x\sum_{y} P(X=x\mid Y=y)\times P(Y=y)+\sum_{y} y\sum_{x} P(Y=y\mid X=x)\times P(X=x)\\ &=\sum_{x} xP(X=x)+\sum_{y} yP(Y=y)\\ &=E(X)+E(Y) \end{aligned}\]

简要补充贝叶斯公式的一种形式：

\[P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A)=P(B)\times P(A|B) \]

\[P(A)=\sum_{B_i}P(B_i)\times P(A|B_i) \]

线性性成立的几个大家都知道的要求：\(E(X)\) 需要满足线性，\(E(X)\) 和 \(E(Y)\) 的计算方式不一定要相同，\(X\) 和 \(Y\) 之间的贡献方式是加和

那么我们抛开澳大利亚的 \(6000\) 万只袋鼠不谈，\(X+Y\) 中的加号含义是什么，当 \(X\) 对 \(Y\) 有影响时，我们把 \(E(X+Y)\) 拆成 \(E(x)\) 和 \(E(Y)\) 后 \(Y\) 的定义又是什么？

考虑一个问题：一个 \(6\) 面的骰子，第一次扔结果是 \(a\)，第二次扔一个 \(a\) 面骰子，结果是 \(b\)，总贡献是 \(a+b\)，求期望

显然 \(E(x)=\frac{x+1}{2}\) 答案为 \(E(6)+E(E(6))\)

由此我们（至少是我），可能会得出一个很片面的结论，即我们把 \(X\) 和 \(Y\) 分离后,\(Y\) 是 \(X\) 期望意义下的 \(Y\)

非也！

首先，\(X\) 是什么？可以说 \(X\) 是一个随机变量，一个包含所有可能情况的集合（或者假装它是）

那么 \(X+Y\) 是什么？\(APJ\)：是这两个集合的笛卡尔积，而 \(E(X)\)，是在 \(X\) 与 \(Y\) 笛卡尔积产生的样本空间里的 \(X\) 的期望（注意这个样本空间里基本点概率不同），所以当我们用 \(X+Y\) 产生这个样本空间后，\(E(X)\) 和 \(E(Y)\) 都是在这个样本空间意义下的期望，所以上面的片面观点是片面的）

所以你对期望的线性性理解加深了，但是还是没什么用，做题照样保龄

注：两个集合的笛卡尔积是从两个集合中分别选取一个元素组成一个二元组的所有情况