容斥和反演

本人刚学OI一秒，对了解众多个别几个反演之后对反演的本质有一些看法

本人现阶段学过的反演和类似反演的包括：容斥，二项式反演，莫比乌斯反演，子集和反演。Min-Max容斥单位根反演斯特林反演等等还没有掌握，内容一定可能会以偏概全

下文中的容斥系数的定义只包括 $ 1,-1 $

本人大致观测了一个美妙的普遍规律：

反演就是普通容斥在高维空间的和不同定义上的推广，容斥系数都可以通过文氏图得到

一个有一个或多个维度坐标的函数（或者说多元函数）$ f $，在每个维度上以某种一定的规则叠加为函数 $ g $，我们把 $ g $ 通过容斥系数拼凑出函数$ f $，就是反演的过程

比如莫比乌斯反演中，叠加的规则就是因数与倍数，在有的容斥或反演中，可能就是前后缀

那么容斥系数取决于什么，先给出我的看法：

我们认为一个 $ n $ 元函数的参数就是它在 $ n $ 元空间里的坐标，那么假如我们要用 $ g $ 反演出 $ f $,容斥系数取决于每一个 $ g $ 与所求的 $ f $在多元空间里的曼哈顿距离的奇偶（比如奇 $ -1 $ 偶 $ 1 $ ）

可以联想到莫比乌斯函数和多维二项式反演

我感觉我说到这反演做多的dalao就能明白我什么意思了

至于为什么：文氏图

将文氏图推广到多维空间，就得到了多维容斥的系数，或者说反演只是容斥在更高维度上的推广

所以不同反演是可以互通并且快速掌握的，比如我们可以把集合大小为 $ 2^n $ 的子集和反演类比于 $ n $ 维的二项式反演

笔者的语言表达能力只能到这，望dalao们分享看法