Lucas 定理

以下提及的 $p$ 均为质数。
$$C_{m}^{n} \equiv C_{m \mod p}^{n \mod p} \times C_{ \left \lfloor m/p \right \rfloor } ^{ \left \lfloor n/p \right \rfloor } \mod p$$
引理 $1$: 当 $x$ 为小于 $p$ 正整数时，$C_{p}^{x} \equiv 0 \mod p$
证明 ：
$C_{p}^{x}$
= $\frac{p}{x} \cdot \frac{(p-1)!}{(x-1)!(p-1-(x-1))!}$
= $\frac{p}{x} \cdot C_{p-1}^{x-1}$
因为 $x < p$ 所以存在逆元 $inv(x)$ 使得 $p \cdot inv(x)\cdot C_{p-1}^{x-1} \equiv 0 \mod p$
引理 $2$：$(1 + x )^{p} \equiv 1+x^p \mod p$
证明 ：
$(1 + x )^{p}$
= $\sum C_{p}^{i}x^i \equiv C_{p}^{0} +C_{p}^{p}x^p = 1+x^p \mod p$
设 $q_m = \left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor$，$r_m = m \mod p$
则：$$(1+x)^m = (1+x)^{q_mp+r_m}$$
$$=(1+x)^{q_mp}(1+x)^{r_m}$$
$$\equiv(1+x^p)^{q_m}(1+x)^{r_m}$$
$$=\sum_{i=0}^{q_m} C_{q_m}^{i}x^{pi} \sum_{j=0}^{r_m} C_{r_m}^{j}x^j$$
$$=\sum_{i=0}^{q_m}\sum_{j=0}^{r_m}C_{q_m}^{i}C_{r_m}^{j}x^{pi+j} \mod p$$
考虑枚举 $k = ip+j$，原式化为
$$\sum_{k=0}^{m}C_{q_m}^{\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor}C_{r_m}^{k \mod p}x^{k}$$
即
$$(1+x)^{m} = \sum_{k=0}^{m} C_{m}^{k}x^k \equiv \sum_{k=0}^{m}C_{q_m}^{\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor}C_{r_m}^{k \mod p}x^{k} \mod p$$
考虑把$n$ 代入 $k$，比较系数可得：
$$C_{m}^{n} \equiv C_{m \mod p}^{n \mod p} \times C_{ \left \lfloor m/p \right \rfloor } ^{ \left \lfloor n/p \right \rfloor } \mod p$$