CF283E Cow Tennis Tournament 题解

题目要我们求三元组的数量。根据经验，我们处理一下。发现不合法的三元组只有一种情况：即一个三元组中，一个点的出度为 $2$。记 $d_i$ 为一个点的出度，所以总的答案是 $\binom{3}{n} - \sum \binom{2}{d_i}$。问题转化为如何快速求出每个点的 $d_i$。观察发现，对于一个点，只有经过它的区间才会对它的 $d_i$ 产生影响，显然我们可以利用差分的思想，在每个操作的两个端点进行修改。具体的，把一个 $l \sim r$ 的修改在 $l$ 和 $r + 1$ 分别进行一次区间翻转，我们从小到大按枚举每个点，统计答案。
再说一个代码实现的细节，我们记一个标记 $cs$ 表示当前这个点以前区间翻转操作次数，当 $cs$ 为奇数次时，说明当前这个点被覆盖了，否则覆盖相互抵消或者没被覆盖。

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
#define lc k << 1
#define rc lc | 1
#define lcon lc, l, mid
#define rcon rc, mid + 1, r
#define Mid int mid = l + r >> 1
 
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 500;
 
int n, k;
int sum[N << 2], tag[N << 2], len[N << 2], cs;
 
void dk(int k) {tag[k] ^= 1, sum[k] = len[k] - sum[k];} 
void pd(int k) {if(tag[k]) dk(lc), dk(rc), tag[k] = 0;} 
void build(int k ,int l, int r) {
    len[k] = r - l + 1; if(l == r) return;
    Mid; build(lcon), build(rcon);
}
void modify(int k, int l, int r, int x, int y) { 
    if(y < l || x > r) return ;if(x <= l && r <= y) return (void)dk(k);
    pd(k); Mid; if(x <= mid) modify(lcon, x, y);
    if(y > mid) modify(rcon, x, y); sum[k] = sum[lc] + sum[rc];
}
 
int s[N];
vector<int> L[N];
vector<int> R[N];
int main() {
    scanf("%d %d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", s + i); 
    sort(s + 1, s + n + 1);
    while(k--) {
        int x, y; scanf("%d %d", &x, &y);
        x = lower_bound(s + 1, s + n + 1, x) - s;
        y = upper_bound(s + 1, s + n + 1, y) - s - 1;
        R[x].push_back(y), L[y + 1].push_back(x);
    } 
    build(1, 1, n);
    ll ans = (ll) n * (n - 1) * (n - 2) / 6; 
    for(int i = 1;i <= n; ++i) {
        for(auto P : L[i]) modify(1, 1, n, P, i - 1), cs ^= 1;
        for(auto P : R[i]) modify(1, 1, n, i, P), cs ^= 1;
        int t = sum[1] - cs; 
        ans -= (ll) t * (t - 1) / 2;
        modify(1, 1, n, i, i);
    }
    printf("%lld" ,ans);
    return 0;
}