排列与逆序对
一个大小为n的排列是指1~n每个数都恰好出现一次的排列，（有些地方采用0~n-1，不影响）；逆序对是指任意一个二元组（ai，aj）满足i>j&&ai<aj。
1．大小为n的排列共有n!种。只有自然排列（就是指1~n）没有逆序对，其他排列都有逆序对。逆序对的上限是n*(n-1)/2，下限是0。
2．有逆序对则必定有相邻的逆序对：证明：假设存在一对ai，aj满足i+1<j&&ai>aj的二元组，且不存在其他逆序对，则必须有ai<ai+1<ai+2…<aj-1。但是aj-1>ai>aj故aj-1,aj为一对相邻的逆序对，故假设错误。
3．n!种排列中逆序对个数为奇数的和偶数的都恰好为n!/2：证明：先将排列的后n-2的元素确定，最后确定a1,a2。然后交换a1,a2就可以改变奇偶的另一个排列。
4．交换相邻的两个元素，逆序对个数奇偶性改变。
5．任意一个排列，如果只能交换相邻的两个数，那么至少要交换逆序对个数，才能将排列变成自然排列：证明，每次交换相邻的逆序对，每交换一次，逆序对个数减少1，直到没有逆序对为止。
6．任意一个排列，如果能任意交换，那么交换变成自然排列的次数与逆序对个数的奇偶性相同。证明：交换任意两个元素ai，aj（不妨设i<j）。等价于交换(ai,ai+1),(ai+1,ai+2)…(aj-2,aj-1),(aj-1,aj),(aj-1,aj-2)…(ai+2,ai+1),(ai+1,ai)。总共2*(j-i)-1次，即奇数次，所以任意交换两个数一次，相当于交换奇数次相邻的元素。
7．对于一个排列a，设逆序对个数为m。我们将a反转，或把ai变成n+1-ai，逆序对个数将变为n*(n-1)/2-m即原本为逆序对二元组的变成了非逆序对，原本不是逆序对的变成了逆序对。那么当n为4k或4k+1的整数时，逆序对个数奇偶性不变，n为4k+2或4k+3时，逆序对个数奇偶性改变。
8．对于一个排列a，如果把第一个数移动到最后一个数后面，或者把最后一个数移动到前面（即任意方向循环位移一次），如果n为奇数，逆序对个数奇偶性不变，否则改变：证明，先证明把第一个数移动到最后一位后面：在a2~an这n-1个数中，假设比a1大的有k个，那么比a1小的就有n-1-k个。移动之后逆序对将增加2k-n+1个。
对于最后一个数移动到前面这种情况也同理可证。
9．给定排列a，令b[a[i]]=i，这样会得另一个排列b，这个b叫做a的排列的逆。描述a中每个元素的所在位置。比如a=[2,3,1,5,4]，b=[3,1,2,5,4]，我们可以说：在a中，a[i]排在第b[a[i]]位。如a中3排在第2位。
10．排列的逆与原排列互为逆：证明：给定a，令b[a[i]]=i，则b为a的逆排列，下面证明a也为b的逆排列。如果b[a[i]]=i那么b[i]就等于a中满足a[j]=i的那个j。即b[i]=b[a[j]]=j。这样a[b[i]]=a[j]=i。
还有一种通俗的证明就是每个排列会对应一个矩阵，排列的置换其实是一种矩阵乘法（满足每行每列恰好有一个1，其余为0的n阶矩阵），由于矩阵与矩阵的逆互为逆，所以a与b互为逆。
(其实矩阵的证明才是严谨证明)
11．排列的逆与原排列有相同个数的逆序对：证明：对于原排列任意二元组(ai，aj)不妨设i<j。那么在逆排列中，必有b[a[j]]=j>i=b[a[i]]。如果ai>aj，则a中记为逆序对，b中二元组（b[a[j]],b[a[i]]）也记为逆序对；同理ai<aj，则a中不记逆序对，b中二元组(b[a[j]],b[a[i]])也不记逆序对。可以说a与b的逆序对二元组存在一一对应的关系。
12．定义一个奇偶函数：s(a)=1，a的逆序对个数为偶数；-1，a的逆序对个数为奇数。现在给定两个大小为n的排列a，b，再令c[i]=a[b[i]]，则有s(c)=s(a)*s(b)。证明：我们另外构建一个自然排列1-n，记为d，让他和a每位绑定在一起。那么把d通过交换得到b的同时，a就会得到c。所以c的逆序对个数奇偶性一定和a的交换次数加b的交换次数的和相同。
13．给定一个初始排列a和一个打乱排列b，现将a打乱，记a'[i]=a[b[i]]，再把b视为自然排列，就是按照b的顺序视为新的大小顺序，此时计算a’的逆序对个数，则和初始排列a的逆序对个数奇偶性相同。
举个例子，a=[2,3,4,1]，逆序对为3，b=[3,1,4,2]，则a'=[4,2,1,3]。这个时候我们将b设为新的大小顺序，即3<1<4<2。当然这等价于把a'中的元素a'i变成3,4,2,1。这样逆序对个数是5。5和3奇偶性相同。
证明：上述过程其实是，记一个rank函数表示新的大小关系，rank[b[i]]=i。也就是本来是b[i]的数现在排在第rank[b[i]]位，也就是第i位。最后一步重新赋值就是a''[i]=rank[a'[i]]=rank[a[b[i]]]。可以发现s(a'')=s(rank)*s(a)*s(b)。然而rank与b为互逆排列，故s函数值相等，s(a'')=s(a)*s(b)^2=s(a)。
接下来我们设n，m为两个奇素数，考虑一个大小为n*m的排列。并把它依次放到一个大小为n*m的表格里。比如n=5,m=7。那么这个表格就长这样：
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14．我们把数字横着一个一个捡起来，再竖着一个一个放下去，表格就会变成这样：
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之后再把数字横着一个一个捡起来排成一排，也就是1,6,11,16….25,30,35。把这个排列记为a，那么s(a)=(-1)^[(n-1)*(m-1)/4]。
证明：在同一行或同一列的都不会构成逆序对。只有向“/“方向倾斜的二元组会构成逆序对。记表格第i行第j列元素为eij考虑枚举任意两行i，j，枚举任意两列k，l。二元组（eik,ejl）和二元组(eil,ejk)一定有一个为逆序对，一个不是。所以逆序对总共有n*(n-1)/2*m*(m-1)/2个。由于n，m都为奇数，所以(-1)^(n*m)仍为-1。
15. 我们把数字竖着一个一个捡起来，再向右下斜着一个一个放下去，当往右下放的时候超出了边界，就跳回第一行/列。比如（5,3）的下一个原本应该是(6,4),但是第六行超出了边界，就跳回第一行，变成（1,4）；类似（1,7）的下一个是（2,1）。表格就会变成这样：
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由于我们拿起第i行的数字，最后都会放回第i行，那么每一行就都是原始行的数字，只是顺序改变而已。此时再把整个表格按行一个个捡起来排成一排，记为b；再记这个表格的第一行(一定是1-n的排列)记为a，则a与b的逆序对个数奇偶性相同。
证明：当我们把表格排成一行的时候，会发现不同行之间的元素不会构成逆序对，因为下面行的数字总会大于上面行的数字；下面行的结构其实是上面一行往右循环位移一位，且m为奇数，所以每一行的逆序对个数的奇偶性都是相同的。又因为总共有n行，n为奇数，所以b的逆序对个数奇偶性与a相同。
下面我们设3个数组和一个数p：
第一个是a，a[i*n%m]=i。由于表格第一个数永远是1，我们把第一个数去掉，并且将剩下的数全部减一，得到一个大小为m-1的排列。根据上述放置的顺序，我们可以发现，i其实放在了i*n%m位置。所以a其实就是表格的第一行的第2~m个数，然后同时减一，所以s(a)仍然等于s(表格)。
第二个是b，b[i]=g^i%m，其中g为m的一个原根。
第三个是b的逆，记为d，则d[g^i%m]=i。
还有一个数p，p满足g^p%m=n。
16. 如果n是m的二次剩余，则s(a)=1，如果n不是m的二次剩余，则s(a)=-1。
证明：我们将a视为原排列，d视为打乱排列，记e[i]=d[a[b[i]]]，则s(e)=s(a)。下面我们来看看e是什么：
一层一层来，先记c[i]=a[b[i]]=a[g^i%m]=a[g^(i+p-p)%mo]=a[g^(i-p)*n%mo]=g^(i-p)%m。那么e[i]=d[c[i]]=d[g^(i-p)%m]=i-p。
注意，当i-p为0或负数的时候，因为费马小定理有g^(m-1)%m=1，所以i-p等价于(i-p+m-2)%(m-1)+1。
所以e[i]= (i-p+m-2)%(m-1)+1。该式子等价于，把自然排列向左循环位移p位。因为m-1为偶数，所以任意循环一次，逆序对个数奇偶性改变，循环位移p次将改变p次。如果p位奇数，则s(e)=-1,而n=g^p%m，所以n不是m的二次剩余。如果p位偶数，则s(e)=1,而n=g^p%m，n是m的二次剩余。
举例：
n=5,m=7,a=[3,6,2,5,1,4],b=[3,2,6,4,5,1],c=[2,6,4,5,1,3],d=[6,2,1,4,5,3],e=[2,3,4,5,6,1]。
e的逆序对个数为5，为奇数，所以5不是7的二次剩余。
记勒让德符号(n/m)为：1，n是m的二次剩余；-1，n不是m的二次剩余。
设u(X)为把表格X按一行一行排开，形成1-n*m的排列，的逆序对个数的奇偶性。
设v(X)为把表格X按一列一列排开，形成1-n*m的排列，的逆序对个数的奇偶性。
17.将1~n*m一行一行放置（即上述表格1）记为A；把A一列一列捡起来再将数字从左上角开始向右下方向放置（即上述表格3）记为B；则u(A)=1，因为就是自然排列，逆序对个数为零，(-1)^0=1；u(B)=(n/m)。因为u(B)=u(B的第一行)。
18.将1~n*m一列一列放置（即上述表格2）记为C；把C一行一行捡起来再将数字从左上角开始向右下方向放置（即下述表格4）记为D。则v(D)= (m/n)。考虑把表格转置一下，v和s就等价了。
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17 |
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2 |
9 |
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5 |
7 |
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16 |
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3 |
10 |
12 |
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21 |
28 |
35 |
综上：我们设定一下4个操作：
对于数字1-n*m，我们把数字逐个横着放置，竖着收起来，这样构成的排列记为操作w1；把数字竖着放横着收起来，记为w2；斜着放，横着收，记为w3；斜着放，竖着收记为w4；记wiwj表示先做i操作再做j操作。
那么(n/m)=s(w1w3)；(m/n)=s(w2w4)；(n/m)(m/n)=s(w1)*s(w2)*s(w3)*s(w4), 由于w1与w2互逆，w4等价于先w3再w1。所以原式等于s(w1)^3*s(w3)^2=s(w1)=u(C)= (-1)^[(n-1)*(m-1)/4]。
因此(n/m)(m/n)= (-1)^[(n-1)*(m-1)/4]
这个思路非本人所想，是刷视频刷到的，但是很多的结论视频采用“你们就认为它是对的”。我对这个证明非常感兴趣，因此把整个证明的来龙去脉全部理清楚了。
本文章的证明语言上不算特别严谨，大多采用比较浅显的语言，但是正确性绝对都是对的，是能够找到严谨证明的。我是觉得居然能用排列逆序对来证明出一个非常美妙的数论等式，不可思议，便花了一周时间从头到尾理清楚整个的逻辑，写下这篇文章。
特别鸣谢，中山市中山纪念中学，邓启龙老师，有一步给与了我很大的灵感。
