2021.10.30 乘法
2021.10.30 乘法
原题目可以转换为求\(f(n!)\equiv x\pmod {2^{64}}\)中的\(x\)
其中\(f(x)\)表示满足\(v\mid x\)且\(2\nmid v\)的最大的\(v\)
由于任意正整数可以写成\(p\times 2^k(2\nmid p)\)
我们考虑计算\(k\)相同的数的乘积,最后再乘起来
对于\(X100...0\)(二进制,后有\(k\)个\(0\)),我们想求的就是所有\(X1\)的乘积
即要求\(1\times 3\times 5...\times (2v+1)\)
我们可以构造多项式\(g_v(x)=\prod_{i=1}^v (2x+2i+1)\)
使用倍增的思想,设\(o=\lfloor\frac{v}{2}\rfloor\),我们可以先算出\(g_o(x)\)
则\(g_v(x)=g_o(x)g_o(x+o)\)(零头补上即可)
使用多项式平移的技巧,使用\(O(len^2)\)的暴力卷积\(g_o\)可以计算
多项式平移:
\[\begin{aligned}f(x+v)&=\sum_{i=0}^na_i(x+v)^i\\&=\sum_{i=0}^na_i\sum_{j=0}^iv^j{i\choose j}x^{i-j}\\\end{aligned} \]这样便在\(O(n\log n/n^2)\)内实现了变量的加值
我们发现\(2^n\mid[x^n]g_v(x)\)
所以这个多项式实际上不超过\(63\)次
每次都这样做时间复杂度为\(O(T\log^4n)\)
我们发现在枚举\(2^k\)时和倍增的过程是相同的,合并倍增与枚举\(k\)即可做到\(O(T\log^3n)\)
闲着没事的话也可以做到\(O(T\log^2n\log\log n)\)(不建议)
当然还需要在最后算出\(2^k\)对答案的贡献
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
# define ll long long
# define read read1<ll>()
# define Type template<typename T>
Type T read1(){
T t=0;
char k;
bool vis=0;
do (k=getchar())=='-'&&(vis=-1);while('0'>k||k>'9');
while('0'<=k&&k<='9')t=(t<<3)+(t<<1)+(k^'0'),k=getchar();
return vis?-t:t;
}
# define fre(k) freopen(k".in","r",stdin);freopen(k".out","w",stdout)
# define ull unsigned ll
ull C[70][70];
char ret(int x){return x<10?x+'0':x-10+'A';}
ull qkpow(ull x,ull y){
ull t=1;
for(;y;y>>=1,x*=x)
if(y&1)t*=x;
return t;
}
# define A vector<ull>
A sol(ull x){
A t;
if(x==1){
t.push_back(3);
t.push_back(2);
return t;
}
ull mid=x>>1;
A u,v;
u=sol(mid);
for(int i=0;i<u.size();++i){
v.push_back(0);ull r=1;
for(int j=0;j<=i;++j){
v[i-j]+=u[i]*C[i][j]*r;
r*=mid;
}
}int n=min(70,(int)(u.size()+v.size()-1+(x&1)));
t.resize(n);for(int i=0;i<n;++i)t[i]=0;
for(int i=0;i<u.size();++i)
for(int j=0;i+j<n&&j<v.size();++j)
t[i+j]+=u[i]*v[j];
if(x&1){
ull p=x<<1|1u;
for(int i=t.size();--i;)t[i]=t[i-1]*2+t[i]*p;
t[0]*=p;
}
// if(t.size()>64)assert(!t[64]);
return t;
}
int main(){fre("multiplication");
for(int i=0;i<70;++i){
C[i][0]=C[i][i]=1;
for(int j=1;j<i;++j)
C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
}
for(int T=read;T--;){
ull t=1,h=0,s;
scanf("%llu",&s);
for(int i=0;i<64;++i){
ull x=s>>i;
if(x&1)x>>=1;
else if(x)x=x-1u>>1;
if(x)t*=sol(x)[0];
}
for(int i=1;i<64;++i)
(h+=s>>i)&=3u;
t<<=h;
bool vis=0;
for(int i=16;i--;){
char k=ret((t>>i*4)&15);
if(k!='0'||vis)putchar(k),vis=1;
}if(!vis)putchar('0');putchar('\n');
}
return 0;
}
因果乃旋转纺车,光彩之多面明镜
浮世苍茫,不过瞬逝幻梦
善恶爱诳,皆有定数
于命运之轮中
吞噬于黄泉之冥暗
呜呼,吾乃梦之戍人
幻恋之观者
唯于万华镜中,永世长存
浮世苍茫,不过瞬逝幻梦
善恶爱诳,皆有定数
于命运之轮中
吞噬于黄泉之冥暗
呜呼,吾乃梦之戍人
幻恋之观者
唯于万华镜中,永世长存